IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1992) polígono regular Tópico resolvido

[agp16]

Um polígono regular admite para medida de suas diagonais apenas os números [tex3]n_1, n_2, n_3, ..., n_{27}[/tex3] tais que [tex3]n_1< n_2< n_3< ...< n_{27}[/tex3]. Logo este polígono:

a) Tem 30 lados
b) Pode ter 54 lados
c) Pode ter 57 lados
d) Pode ter 58 lados
e) Tem um número de lados maior que 60

[triplebig]

Um polígono regular de número par de lados tem [tex3]\frac{n}{2}-1[/tex3] tamanhos diferentes para suas diagonais.
Um polígono regular de número ímpar de lados tem [tex3]\frac{n-3}{2}[/tex3] tamanhos diferentes para suas diagonais.

Essas relações se verificam por simetria, eu descobri pegando polígonos menores e desenhando as linhas de simetria (uma linha em polígonos com números pares e duas linhas com os de número ímpares de lados). Vejamos os dois casos:

(1) O polígono é par:

[tex3]\frac{n}{2}-1=27\Leftrightarrow \boxed{n=56}[/tex3]

(2) O polígono é ímpar:

[tex3]\frac{n-3}{2}=27\Leftrightarrow \boxed{n=57}[/tex3]

O polígono, então, poderá ter ou [tex3]56[/tex3] ou [tex3]57[/tex3] lados. A única resposta satisfatória então é a letra c) .