Ensino Superior ⇒ Definição formal de limite. Tópico resolvido

[BeatlePXX]

Prove pela definição formal de limite que [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}[/tex3] [tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]=1

[AnthonyC]

Queremos mostrar que [tex3]|x-1|<\delta\implies \left| {1\over x}-1 \right|<\epsilon[/tex3]:
[tex3]|x-1|<\delta[/tex3]
Tomando [tex3]\delta<{1\over2}[/tex3]
[tex3]|x-1|<{1\over2}[/tex3]
[tex3]-{1\over2}< x-1<{1\over2}[/tex3]
[tex3]{1\over2}< x<{3\over2}[/tex3]
[tex3]{1\over2}< | x|<{3\over2}[/tex3]
[tex3]{2}>{1\over|x|}>{2\over3}[/tex3]
[tex3]{2}>{1\over|x|}[/tex3]
[tex3]{2}|x-1|>{|x-1|\over|x|}[/tex3]
[tex3]2\delta>{2}|x-1|>{|x-1|\over|x|}[/tex3]
[tex3]2\delta>{|x-1|\over|x|}[/tex3]
[tex3]2\delta>{|1-x|\over|x|}[/tex3]
[tex3]2\delta>\left|{1-x\over x}\right|[/tex3]
[tex3]2\delta>\left|{1\over x}-{x\over x}\right|[/tex3]
[tex3]2\delta>\left|{1\over x}-1\right|[/tex3]

Tomando [tex3]\epsilon=2\delta[/tex3]:
[tex3]\epsilon>\left|{1\over x}-1\right|[/tex3]

Como [tex3]|x-1|<\delta\implies \left| {1\over x}-1 \right|<\epsilon[/tex3], então:
[tex3]\lim_{x\rightarrow1}{1\over x}=1[/tex3]
C.Q.D