Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Urnas e troca de bolas — Probabilidade Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente? Poderiam me ajudar nesse exercício aqui. Até que vi uma resolução online, mas não consegui entender.

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Poliedro — Dispomos de três urnas, A, B e C, com as seguintes composições.
A — 4 bolas vermelhas e 2 pretas.
B — 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas.
C — 6 bolas pretas e 5 brancas.

Retira-se uma bola de A e coloca-se na urna B; a seguir, retira-se uma bola de B e coloca-se em C. Retirando-se uma bola de C, qual é a probabilidade desta ser vermelha ou branca?

Resposta

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tags: questao 31, exercicio propostos

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Como as únicas cores possíveis são vermelho, branco ou preto a probabilidade da bola ser branca ou vermelha é igual a probabilidade da bola não ser preta; ou seja [tex3]1[/tex3] menos a probabilidade da bola ser preta.

Calculemos então a probabilidade da bola ser preta.

Inicialmente há 12 bolas ao todo na caixa B. Note que qualquer que seja a bola retirada na caixa A haverão 13 bolas na caixa B no primeiro processo.
Porém não podemos dizer ao certo quantas bolas pretas há pois não sabemos se a bola retirada da primeira caixa é vermelha ou preta. Não nos resta outra alternativa vamos ter que abrir em casos



Se a bola retirada de A não for preta:

Neste caso, o número de bolas pretas em B se conservará. Depois de passar a bola de A para B haverão [tex3]13[/tex3] bolas em B ao todo; e como o número de bolas pretas em B é conservado (ou seja [tex3]4[/tex3]) a probabilidade da bola retirada ser preta no primeiro caso é [tex3]\frac{4}{13}.[/tex3] Porém, não sabemos se este caso acontecerá ou não; só sabemos que a probabilidade dele acontecer (ou seja da primeira bola retirada não ser preta) é [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] (verifique)

Dessa forma a probabilidade do caso 1 ocorrer e depois retirarmos a bola preta é o produto das probabilidades ou seja [tex3]\frac{4}{13}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{39}.[/tex3]

Se a bola retirada for preta

Neste caso, ainda haverão [tex3]13[/tex3] bolas na urna B porém, haverão 5 e não 4 bolas pretas pois (neste caso) a bola retirada de A e posta em B foi preta. Então a probabilidade da bola ser preta neste caso é [tex3]\frac{5}{13}.[/tex3] Mas a probabilidade deste caso ocorrer (ou seja da bola retirada de B for preta) é [tex3]\frac{1}{3}.[/tex3]

Repetindo o raciocínio do caso anterior, temos que a probabilidade deste caso ocorrer e da bola retirada ser preta é [tex3]\frac{5}{13}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{39}.[/tex3]



Dessa forma a probabilidade da bola retirada em B ser preta em qualquer caso é [tex3]\frac{8}{39}+\frac{5}{39}=\frac{13}{39}=\frac{1}{3}[/tex3] então a probabilidade da bola não ser preta (ou seja ser vermelha ou branca) é [tex3]1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.[/tex3]



Agora temos que dividir em casos de novo (droga!)

Se a bola transferida de B para C for preta

Este caso ocorre com probabilidade [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
Neste caso, haverão 12 bolas em C, dentre as quais 7 são pretas. Então a probabilidade da bola retirada de C for preta (neste caso) é [tex3]\frac{7}{12}.[/tex3] Então a probabilidade deste caso ocorrer e depois a bola retirada for preta é [tex3]\frac{7}{12}\cdot \frac{1}{3}=\frac{7}{36}[/tex3]

Se a bola transferida de B para C não for preta

Este caso ocorre com probabilidade [tex3]\frac{2}{3}.[/tex3]
Neste caso, haverão 12 bolas na urna C dentre as quais 6 serão pretas. Então a probabilidade deste caso ocorrer e depois a bola retirada for preta é [tex3]\frac{2}{3}\cdot \frac{6}{12}=\frac{1}{3}[/tex3]



Então a probabilidade da bola ser preta é [tex3]\frac{1}{3}+\frac{7}{36}=\frac{19}{36}[/tex3] então a probabilidade da bola não ser preta (ou seja ser branca ou vermelha) é [tex3]1-\frac{19}{36}=\boxed{\boxed{\frac{17}{36}}}[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Vacilei; vou editar.

[A13235378]

Olá:

Lembre-se que eventos dependentes tu multiplica e eventos independentes tu soma as probabilidades.

Concorda que ao retirar e colocar em outra urna , cada evento depende da anterior? Então usa o principio multiplicativo.

Vamos separar em 6 casos:

V-V / V-P / V-B / P -V / P - B / P-P

Em que representa as possiveis cores retiradas respectivamente nas urnas A e B.

Vou fazer 2 casos , depois deixarei tu terminar.

1 caso) V - V

Na primeira retirada , concorda que a probabilidade de sair vermelho é de 2/3? Entao , voce retira uma bola vermelha e a coloca na urna B.

Na segunda retirada , teremos ao todo 12 + 1 = 13 bolas sendo que a bola adicionada foi vermelha. Entao para retirar uma bola vermelha a probabilidade será de (5+1) /(12+1) = 6/13

Na ultima urna , teremos ao todo 11+1 = bolas sendo que a bola adicionada foi vermelha. Entao para retirar uma bola V ou B , concorda que é mesma coisa que considerar que as duas cores são uma só unica? Entao a probabilidade será de (5+1)/ (11+1) = 1/2

Como eu disse no inicio sao eventos dependentes , entao no final para que esses tres eventos aconteçam voce deverá MULTIPLICAR todas as probabilidades.

2 caso) P-B

Urna A= para retirar uma preta , a probabilidade será de 2/6 = 1/3

Urna B = para retirar uma branca , a probabilidade será de 3/(12+1) = 3/13 (nunca esqueça de somar uma bola)

Urna C= Nessa caso , uma branca foi adicionada, entao teremos ao todo 6 brancas e 6 pretas e para retirar uma branca , a probabilidade será de 1/2

Novamente, tu vai multiplicar todas as possibilidades.

No final dos 6 casos , como agora esses 6 casos são eventos INDEPENDENTES , voce ira somar todas as probabilidades.

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Ufa!!! Depois de editar a mensagem 4 vezes eu consegui achar o gabarito. Droga Poliedro, sabemos fazer contas (praticamente é só isso que a gente faz no fundamental, não? Foi mal não podia perder a oportunidade de criticar o sistema.) O mais difícil (na minha opinião) não são as contas e sim não se perder em meio aos cálculos; se não fosse o gabarito sabe-se lá que resposta insana eu teria achado

[A13235378]

Ufa!!! Depois de editar a questão 4 vezes eu consegui achar o gabarito. Droga Poliedro, sabemos fazer contas (praticamente é só isso que a gente faz no fundamental, não; foi mal não podia perder a oportunidade de criticar o sistema.) O mais díficil para mim não é as contas e sim não se perder em meio aos cálculos; se não fosse o gabarito sabe-se lá que resposta insana eu teria achado

Sim . usei uma pagina inteira só de conta pq estava errando cada besteira

[anastacialina]

[user]pedro1729[/user], muuuuuuuuuuuuuuito obrigado! Você não tem noção como eu penei nessa questão. LOL.

Foi mal não podia perder a oportunidade de criticar o sistema.

Só observo. kkk

@A13235378, muito obrigado também. Sim eu fiz os outros casos, mas tô tão cansada agora. Acho que posto amanhã.

Vocês são uns anjos mesmo, o que seria da minha pessoa sem vocês!?

ps: como é de praxe vou "eleger" a primeira resposta. Só por cronologia mesmo, okay? Dado que ambas ajudaram de igual forma.