Olimpíadas ⇒ (Cone Sul 1991) Geometria Plana - Paralelismo

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Sejam [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] três pontos não colineares (não alinhados) e [tex3]E (≠ B)[/tex3] um ponto qualquer que não pertença à reta [tex3]\overline{AC}[/tex3]. Construa os paralelogramos [tex3]ABCD[/tex3] (nesta ordem) e [tex3]AECF[/tex3] (também nesta ordem). Demonstre que [tex3]BE|DF[/tex3].

[Ittalo25MOD]

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- <DCA = <BAC, já que AC é diagonal do paralelogramo ABCD.
- <FCA = <EAC, já que AC é diagonal do paralelogramo AECF.
- Sendo assim, <FCD = <EAB.
- Então ABE e FCD são congruentes pelo caso LAL.
- <CEA = <CFA, já que são ângulos opostos de um paralelogramo.
- Como ABE e FCD são congruentes, então <BEC = AFD e está provado que BE//DF

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Olá [user]KashinKoje[/user] e @Ittalo25MOD .Eu achei uma solução mais trivial nas listas do POTI:

parallelograms.png (48.39 KiB) Exibido 1655 vezes

[tex3]ABCD[/tex3] e [tex3]AECF[/tex3] são paralelogramos de diagonais [tex3]AC, BD[/tex3] e [tex3]AC, EF[/tex3] respectivamente.

Como as diagonais de um paralelogramo se cortam em seus pontos médios, e [tex3]AC[/tex3] é uma diagonal comum, [tex3]BD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] se cortam no ponto médio de [tex3]AC[/tex3] que também é o ponto médio [tex3]BD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3]

Então, [tex3]ABEF[/tex3] é um quadrilátero no qual as diagonais [tex3]BD[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] se interceptam em seus pontos médios. Portanto [tex3]ABEF[/tex3] é um paralelogramo e daí segue que [tex3]BE \parallel DF.[/tex3]