Olimpíadas ⇒ (Olimpíada de Maio - 2006) - Divisibilidade Tópico resolvido

[goncalves3718]

Encontre todos os naturais [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tais que [tex3]a|b+1[/tex3] e [tex3]b|a+1[/tex3]

Resposta

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Pela limitação

[tex3]a \leq b+1 \implies a-1 \leq b [/tex3]
[tex3]b \leq a+1[/tex3]

[tex3]a-1 \leq b \leq a+1[/tex3]


Não consigo prosseguir

[Auto Excluído (ID: 24633)]

@goncalves3718 é exatamente como você fez, agora você tem que dividir em casos.
Como você chegou [tex3]a-1 \le b \le a+1[/tex3] mas os únicos inteiros entre [tex3]a-1[/tex3] e [tex3]a+1[/tex3] inclusive são [tex3]a-1,~a,~a+1.[/tex3]

Se [tex3]b=a-1[/tex3] então temos [tex3]a \mid b+1=a[/tex3] e [tex3]b=a-1 \mid a+1.[/tex3] A primeira é verdade qualquer que seja [tex3]a.[/tex3] Da segunda vem [tex3]a-1\mid (a+1)-(a-1)=2[/tex3] dessa forma
[tex3]\begin{cases} a-1=1 \Rightarrow a=2 \\ a-1=2 \Rightarrow a=3\end{cases}[/tex3]
Então as soluções [tex3](a,b)[/tex3] nesse caso são [tex3](2,1),(3,2).[/tex3]

Se [tex3]b=a[/tex3] então [tex3]a \mid a+1 \Rightarrow a \mid 1[/tex3] então [tex3]a=1[/tex3] (já que [tex3]a[/tex3] é natural.)

Se [tex3]b=a+1[/tex3] obtemos as mesmas soluções do primeiro caso só que em ordem inversa [tex3](1,2),(2,3).[/tex3]


Assim as soluções [tex3](a,b)[/tex3] são [tex3](2;1),~(3;2),~(1;1),~(1;2),~(2;3)[/tex3]

[goncalves3718]

Se [tex3]b= a-1 \implies a|b+1 = a [/tex3], como concluiu?(cheguei em [tex3]a|b+1 = 1[/tex3]
Desculpe pela incoveniência, mas poderia ser um pouquinho mais claro em todos os casos?

[Auto Excluído (ID: 25040)]

Se b=a−1⟹a|b+1=ab=a−1⟹a|b+1=a , como concluiu?

soma 1 dos dois lados, b + 1 = a

[goncalves3718]

Sim, logo [tex3]a|b+1 = 1[/tex3] e não [tex3]a[/tex3], certo?

[Auto Excluído (ID: 25040)]

qual propriedade usou para chegar nisso?

[goncalves3718]

Como [tex3]b+1 = a [/tex3], podemos substituir:

[tex3]a|b+1 =a|a = 1[/tex3]

Estou errado?

[goncalves3718]

Estou confundindo o símbolo [tex3]|[/tex3] com o de divisão, me desculpe.
Na verdade nessa equação qualquer valor de [tex3]a [/tex3] será válido!

[goncalves3718]

primeira é verdade qualquer que seja a.a. Da segunda vem a−1∣(a+1)−(a−1)=2a−1∣(a+1)−(a−1)=2 dessa forma

Essa parte eu não entendi, por que [tex3](a-1)[/tex3] apareceu subtraindo?

[Auto Excluído (ID: 25040)]

vc está acompanhando as aulas do poti?, se não, no 2 segundo vídeo de divisibilidade do nível 2 o professor demonstra que se a| b e a| c, então a | xb + yc
onde x e y são inteiro ai ele usou o fato de que a -1 | a -1 e pelo enunciado b| a +1, mas b = a-1
então a-1 | (a+1) - (a-1)