IME / ITA ⇒ IME-Simulado Discursivo. Equação irracional Tópico resolvido

[careca]

Quantas raízes reais possui a equação [tex3]\sqrt[4]{272-x} + \sqrt[4]{x}[/tex3] = 6

[undefinied3]

O procedimento padrão é chamar cada termo de uma variável, elevar à potência da raiz individual e perceber que a soma desses termos elevados à potência da raiz é uma constante, então eliminamos a variável x.

[tex3]a=\sqrt[4]{272-x}[/tex3]
[tex3]b=\sqrt[4]{x}[/tex3]

Então, da equação do enunciado, [tex3]a+b=6[/tex3]. No entanto, também tiramos uma segunda equação observando que [tex3]a^4+b^4=272[/tex3]

E a partir daí tem duas saídas. Podemos ir fatorando a equação de grau 4 pra ir reduzindo o grau até encontrar valores possíveis para [tex3]ab[/tex3]. Tendo [tex3]a+b[/tex3] e [tex3]ab[/tex3] podemos resolver uma equação quadrática cujas raízes serão a e b.

Ou utilizamos somas de Newton, que é o que vou fazer. Seja o polinômio de raízes a e b. Sabemos que [tex3]a+b=6[/tex3]. Seja [tex3]ab=P[/tex3]. Então:

[tex3]y^2-6y+P=0[/tex3]

Por somas de Newton:
[tex3]N_4-6N_3+PN_2=0[/tex3]
[tex3]N_3-6N_2+PN_1=0 \rightarrow 6N_3-36N_2+6PN_1=0[/tex3]
Somando as duas:
[tex3]N_4+(P-36)N_2+6PN_1=0[/tex3]
[tex3]N_2-6N_1+PN_0=0 \rightarrow (P-36)N_2-6(P-36)N_1+P(P-36)N_0=0[/tex3]
Subtraindo as duas:
[tex3]N_4+(6P+6(P-36))N_1-P(P-36)N_0=0[/tex3]

Mas [tex3]N_4=272[/tex3], [tex3]N_1=6[/tex3] e [tex3]N_0=2[/tex3]

[tex3]272+(12P-216)6-P(P-36).2=0 \rightarrow P^2-72P+512=0[/tex3]

Então [tex3]P=8[/tex3] ou [tex3]P=64[/tex3]

No primeiro caso, [tex3]y^2-6y+8=0[/tex3], de onde [tex3](a,b)=(2,4)[/tex3] ou [tex3](a,b)=(4,2)[/tex3] e, portanto, [tex3]x=256[/tex3] ou [tex3]x=16[/tex3]

No segundo caso, [tex3]y^2-6y+64[/tex3] não possui solução real.

Então são duas as raízes da equação. [tex3]x=16[/tex3] ou [tex3]x=256[/tex3]