IME / ITA ⇒ (IME) Binômio de Newton Tópico resolvido

[Matgaldino]

Calcule a soma dos quadrados dos coeficientes de [tex3](x+a)^{n}[/tex3]

Resposta

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[tex3]{2n \choose n}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Questão já postada no fórum: viewtopic.php?f=45&t=20844&start=170

[Matgaldino]

Olá @Ittalo25MOD, não consegui compreender os últimos passos da resolução. Se alguém puder explicar, agradeço.

[Ittalo25MOD]

Olá @Ittalo25MOD, não consegui compreender os últimos passos da resolução. Se alguém puder explicar, agradeço.

A questão é mal escrita.
Pelo gabarito, percebe-se que ela está pedindo a soma dos quadrados dos coeficientes binomiais de [tex3](x+a)^{n}[/tex3].
Afinal, se fosse a soma dos quadrados dos coeficientes da expansão de [tex3](x+a)^{n}[/tex3], essa soma seria em função de "a", mas o gabarito não tem "a".

Daí na resolução do companheiro ele percebeu isso mas não deixou claro.

[tex3](1+a)^{2n} = (1+a)^n \cdot (a+1)^n[/tex3]
[tex3](1+a)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^{k}[/tex3]
[tex3](a+1)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^{n-k}[/tex3]

Então multiplicando dessa forma, percebe-se que o coeficiente de [tex3]a^{n}[/tex3] é:

[tex3]{n\choose 0} \cdot a^0 \cdot {n\choose 0}a^{n} + {n\choose 1}a^{1} \cdot {n\choose 1}a^{n-1}+ ....+ {n\choose n-1}a^{n-1}\cdot {n\choose n-1}a^{1}+{n\choose n}a^{n}\cdot {n\choose k}a^{0} = [/tex3]
[tex3]{n\choose 0}^2 + {n\choose 1}^2 ....+ {n\choose n-1}^2+{n\choose n}^2 [/tex3]

E olhando [tex3](1+a)^{2n}=\sum_{k=0}^n {2n\choose k}a^{k}[/tex3], percebe que o coeficiente de [tex3]a^{n}[/tex3] é [tex3]{2n\choose n}[/tex3]

Então aí é só igualar e tem-se o resultado pedido:

[tex3]{n\choose 0}^2 + {n\choose 1}^2 ....+ {n\choose n-1}^2+{n\choose n}^2 = {2n\choose n} [/tex3]

[Matgaldino]

@Ittalo25MOD, muito obrigado!