Olimpíadas ⇒ POTI - Encontre [tex3]m [/tex3] e [tex3]n[/tex3] Tópico resolvido

[goncalves3718]

Encontre [tex3]m [/tex3] e [tex3]n[/tex3], sendo que [tex3]\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}= \dfrac{1}{143}[/tex3]

[TakeMeDown]

Olá, goncalves3718,

Seja [tex3]\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}= \dfrac{1}{k}[/tex3].

[tex3]\Rightarrow\dfrac{m+n}{m.n}=\dfrac{1}{k}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow\ k.m+k.n=m.n[/tex3]

[tex3]\Rightarrow\ m.n-k.m-k.n+k^2=k^2[/tex3]

[tex3]\Rightarrow\ (m-k)(n-k)=k^2[/tex3]

Para k = 143 = 11.13 e supondo m e n inteiros não nulos,

[tex3]\Rightarrow\ (m-143)(n-143)=143^2=11^2.13^2[/tex3]

Teremos várias soluções.

O fator (m-143), por exemplo, poderá ser igual a qualquer elemento do conjunto dos divisores de 11².13², exceto o -143, uma vez que torna m nulo.

Logo, há 2.(2+1).(2+1) - 1 = 17 soluções distintas.

[tex3]\Rightarrow\ (m-143,n-143)=\pm\{\\
(1,11^2.13^2),\\(11,11.13^2),\\(13,11^2.13),\\(11^2,13^2),\\(13^2,11^2),\\(11^2.13,13),\\(11.13^2,11),\\(11^2.13^2,1)\}\\\cup\\\{(11.13,11.13)\}[/tex3]

Abs

[Babi123]

Um problema análogo a esse: viewtopic.php?f=2&t=46482