Ensino Médio ⇒ Raízes de uma equação quadrática Tópico resolvido

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Se [tex3]b<0[/tex3], então as raízes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] da equação [tex3]2x²+6x+b=0[/tex3] satisfazem a condição [tex3]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}< k[/tex3], em que [tex3]k[/tex3] é igual a:

a) [tex3]-18[/tex3]
b) [tex3]-6[/tex3]
c) [tex3]-5[/tex3]
d) [tex3]-3[/tex3]
e) [tex3]-2[/tex3]

Resposta

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No gabarito está e), mas não tenho certeza.

[Auto Excluído (ID: 24758)]

[tex3]\frac{x_1}{x^2}+\frac{x_2}{x_1}< k\rightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}< k[/tex3]

Pelas relações de Girad:

[tex3]\frac{b}{2}=x_1.x_2[/tex3]

[tex3]x_1+x_2=-3[/tex3]
[tex3]x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=9[/tex3]
[tex3]x_1^2+x_2^2+b=9[/tex3]
[tex3]x_1^2+x_2^2=9-b[/tex3]


Ou seja,

[tex3]\frac{9-b}{\frac{b}{2}}< k[/tex3]
[tex3]\frac{18-2b}{b}< k[/tex3]
[tex3]18-2b> kb[/tex3]
[tex3]18>kb+2b[/tex3]
[tex3]18> b(k+2)[/tex3]

O valor de [tex3]b[/tex3] pode variar, a única opção que nos dá certeza é a letra e).

[tex3]18> b(-2+2)[/tex3]
[tex3]18> b.0[/tex3]
[tex3]18>0[/tex3]