Ensino Médio ⇒ Soluções Inteiras Não Negativas Tópico resolvido

[gab1234]

De quantas formas é possível distribuir n moedas idênticas a k meninas e q meninos de forma que cada menina ganhe pelo menos uma moeda? (Não está garantido que cada menino ganhe moeda).

Dica: Distribua k moedas entre as meninas, depois pegue as moedas que sobram e distribua entre todos.

Alguém?

[A13235378]

Olá:

Considere n numeros cuja soma é p:

a1 + a2 + a3 + ... an = p

O numero de soluçoes NAO inteiros (o zero entra) dessa equaçao é quanto? Para isso , tem-se uma formula já pronta que eu nao sei demonstrar:

[tex3]\begin{pmatrix}
n+p-1 \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Assim, voltando para a questao:

Retiramos k moedas por causa que cada menina recebe pelo menos uma, logo sobraremos n-k moedas.

Assim considere as meninas (m1,m2,m3,..mk) e os meninos (h1,h2,h3,..hq)

Logo :

m1 + m2 + m3 + ... + mk +h1 +h2 + h3 + ... hq = n-k

Ao todo temos= q+k parcelas

Aplicando a formula:

[tex3]\begin{pmatrix}
q+k+n-k-1 \\
n-k \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
q+n-1 \\
n-k \\
\end{pmatrix}[/tex3] possiblidades