Olimpíadas ⇒ (IMO - 2003) - Divisibilidade

[goncalves3718]

Encontre todos os pares de inteiros [tex3](m,n)[/tex3] tais que [tex3]\frac{m^2}{2mn^2-n^3+1}[/tex3] é um inteiro positivo.

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Parece que seu enunciado tá errado (ou todos os outros lugares que eu achei essa questão estão errados; mas acho isso improvável.) Se trata de inteiros positivos e não de quaisquer inteiros.

Achei uma solução no The art of Problem Solving que eu até traduziria se eu não tivesse irritado com o erro no enunciado (sério mano a questão parecia tão legal)! Enfim, se alguém quiser traduzir, fique a vontade.

[AnthonyC]

Traduzindo:

Primeiramente, perceba que se [tex3]n=1[/tex3], a expressão se torna [tex3]{m\over2}[/tex3], a qual será um inteiro se e somente se [tex3]m=2k[/tex3].

Suponhamos agora que haja solução diferente da forma [tex3](2k,1)[/tex3]. Como [tex3]n=1[/tex3] nos resulta nesta forma, devemos ter [tex3]n>1[/tex3]. Chamemos a expressão original de [tex3]\Omega[/tex3]:

[tex3]{m^2\over 2mn^2-n^3+1}=\Omega[/tex3]
[tex3]{m^2}=\Omega(2mn^2-n^3+1)[/tex3]
[tex3]{m^2}=2m\Omega n^2+\Omega(-n^3+1)[/tex3]
[tex3]{m^2}-2m\Omega n^2-\Omega(-n^3+1)=0[/tex3]
[tex3]{m^2}-2\Omega n^2m+\Omega(n^3-1)=0[/tex3]

Definindo [tex3]P(x)=x^2-2\Omega n^2x+\Omega(n^3-1)[/tex3]. Sabemos que [tex3]m\in \mathbb N[/tex3] (no enunciado original) é uma de suas raízes. Portanto, a outra raiz de [tex3]P(x)[/tex3] :

• Deve ser real:
  As raízes complexas vem sempre em pares [tex3]z,\overline z[/tex3]. Como [tex3]\text{ grau} (P)=2[/tex3], então ele possuí apenas duas raízes. Assim, se uma não é complexa a outra também não é;

• Deve ser positiva:
  Temos que [tex3]n>1\implies n^3>1\implies n^3-1>0[/tex3]. Da nossa construção, sabemos que [tex3]\Omega>0[/tex3]. Assim:
  [tex3]\Omega(n^3-1)>0[/tex3]. Por Girard, temos que o produto das raízes de [tex3]P(x)[/tex3] é [tex3]\Omega(n^3-1)[/tex3]. Como uma das raízes já é positiva, para que o produto das duas também seja, a segunda deve ser positiva;

Seja então [tex3]m'[/tex3] a segunda raiz de [tex3]P(x)[/tex3]. Sem perda de generalidade, digamos que [tex3]m'\geq m[/tex3]. Então:
[tex3]m'\geq m[/tex3]
[tex3]m'm\geq m^2[/tex3]
O lado esquerdo é o produto das raízes. Por Girard:
[tex3]\Omega(n^3-1)=m'm\geq m^2[/tex3]
[tex3]\Omega(n^3-1)\geq m^2[/tex3]
[tex3]{m^2\over 2mn^2-n^3+1}\cdot(n^3-1)\geq m^2[/tex3]
[tex3]{1\over 2mn^2-n^3+1}\cdot(n^3-1)\geq 1[/tex3]
[tex3]n^3-1\geq 2mn^2-n^3+1[/tex3]
[tex3]2n^3-2\geq 2mn^2[/tex3]
[tex3]n-{1\over n^2}\geq m[/tex3]
Como [tex3]-{1\over n^2}<0\implies n-{1\over n^2} < n[/tex3]:
[tex3]n>n-{1\over n^2}\geq m[/tex3]
[tex3]n>m[/tex3]
[tex3]n^2>m^2[/tex3]

Da equação original, para que o resultado seja um inteiro positivo, devemos ter duas condições:

• Numerador divisível pelo denominador:
  Para que isso aconteça, uma das condições é que o numerador seja maior ou igual ao denominador. Assim:
  [tex3]m^2\geq 2mn^2-n^3+1 [/tex3]

• Ambos positivos ou ambos negativos:
  Como o numerador é um quadrado, sempre positivo, assim deve ser o denominador:
  [tex3]2mn^2-n^3+1 >0[/tex3]

Juntando todas as inequações:
[tex3]n^2>m^2\geq 2mn^2-n^3+1>0[/tex3]
[tex3]n^2> 2mn^2-n^3+1>0[/tex3]
[tex3]n^2> (2m-n)n^2+1>0[/tex3]
Como [tex3]n>1\implies n^2 >1[/tex3], para que a inequação da esquerda seja verdadeira, devemos ter [tex3]2m-n\leq 0[/tex3]. Utilizando a inequação da direita, devemos ter [tex3]2m-n\geq0[/tex3]. A interseção dessas duas condições resulta em [tex3]2m-n=0[/tex3]. Assim, se [tex3]m=k[/tex3] e [tex3]n=2k[/tex3], sempre teremos solução.

Substituindo nisso no produto das raízes de [tex3]P(x)[/tex3]:
[tex3]\Omega=\frac{k^2}{2k(2k)^2-(2k)^3+1}[/tex3]
[tex3]\Omega={k^2}[/tex3]

[tex3]m'k=\Omega((2k)^3-1)[/tex3]
[tex3]m'k=k^2((2k)^3-1)[/tex3]
[tex3]m'=k(8k^3-1)[/tex3]
[tex3]m'=8k^4-k[/tex3]

Como [tex3]m'[/tex3] também é raiz de [tex3]P[/tex3], então ele também satisfaz a equação inicial. Assim, outra possível solução é da forma [tex3](8k^4-k,2k)[/tex3].

Finalmente, temos que as únicas soluções são da forma [tex3](m,n)=\{(2k,1),(k,2k),(8k^4-k,2k)\}[/tex3] para [tex3]k\in\mathbb{N}[/tex3]