Ensino Médio ⇒ Soluções Inteiras Não Negativas Tópico resolvido

[gab1234]

Determine o número de maneiras de distribuir 10 sucos de abacaxi, uma limonada e um suco de uva entre 4 pessoas, de forma que cada pessoa receba pelo menos uma bebida e que os sucos de uva e a limonada sejam consumidos por pessoas diferentes.

[A13235378]

Olá:

Considere n numeros cuja soma é p:

a1 + a2 + a3 + ... an = p

O numero de soluçoes NAO inteiros (o zero entra) dessa equaçao é quanto? Para isso , tem-se uma formula já pronta que eu nao sei demonstrar:

[tex3]\begin{pmatrix}
n+p-1 \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Voltando a questao:

1) Vamos distribuir a limonada e o suco de uva.

Para o suco de uva , temos 4 maneiras de pessoas que podem receber.

Distribuido o suco de uva, a limonada terá apenas 3 maneiras de distribuir , já que uma mesma pessoa nao poderá receber os dois tipos.

4.3 =12

2) Vamos distribuir os sucos de abacaxi:

Considere um caso qualquer , onde a1 recebeu a limonada e a2 recebeu o suco de uva. Como cada um vai receber pelo menos um suco , as duas pessoas que nao receberam nada ainda, necessariamente receberão cada uma , um suco de abacaxi. Logo sobrarao 10-2 = 8 sucos de abacaxi que serão distribuídas entre as quatro pessoas:

a1 + a2 + a3 + a4 = 8

Aplicando a formula:

[tex3]\begin{pmatrix}
8+4-1 \\
8 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11 \\
8 \\
\end{pmatrix}=165[/tex3]

Usando o principio multiplicativo 4.3 . 165 = 1980 maneiras.