Olimpíadas ⇒ (Índia 97) MDC Tópico resolvido

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Para cada inteiro positivo n, define-se [tex3]a_n=20+n^2[/tex3], e [tex3]d_n=mdc(a_n,a_{n+1})[/tex3]. Determine o conjunto de todos os valores que pode assumir d_n e mostre um exemplo para cada um destes valores.

Resposta

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1,3, 3^2, 3^3, 3^4

[Ittalo25MOD]

[tex3]mdc(a_n,a_{n+1}) = [/tex3]
[tex3]mdc(n^2+20,n^2+2n+21) = [/tex3]
[tex3]mdc(n^2+20,n^2+2n+21 - n^2-20) = [/tex3]
[tex3]mdc(n^2+20,2n+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(n^2+20-20\cdot (2n+1),2n+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(n^2-40n,2n+1) = [/tex3]

Como [tex3]mdc(n,2n+1) = 1 [/tex3], então:

[tex3]mdc(n-40,2n+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(n-40,2n+1-2\cdot (n-40)) = [/tex3]
[tex3]mdc(n-40,81) [/tex3]

Então os valores desse mdc só podem estar no conjunto [tex3]\{1,3,3^2,3^3,3^4\} [/tex3]

Deixo para você procurar os exemplos, mas basicamente basta encaixar um "n" conveniente em [tex3]mdc(n-40,81) [/tex3]