Olimpíadas ⇒ (Olimpíada de Maio - 2002) Números

[matbatrobin]

Encontre todos os pares de números inteiros positivos [tex3](a,b\,)[/tex3] tais que [tex3]8b+1[/tex3] é mútiplo de [tex3]a[/tex3] e [tex3]8a+1[/tex3] é múltiplo de [tex3]b[/tex3].

[Cássio]

Isso equivale a :

[tex3]a\mid8b+1[/tex3]

[tex3]b\mid8a+1.[/tex3]

Sabemos que se [tex3]a\mid 8b+1\Longrightarrow |a|\le|8b+1|.[/tex3] Como [tex3]a,b>0\Longrightarrow a\le8b+1.[/tex3]

Analogamente, temos que [tex3]b\le 8a+1[/tex3]:

[tex3]\begin{cases}a\le8b+1 \\ b\le 8a+1\end{cases}[/tex3]

Subtraindo a segunda da primeira*:

[tex3]a-b\le8b-8a\Longleftrightarrow a\le b[/tex3]

Analogamente, subtraindo a segunda da primeira:

[tex3]b\le a:[/tex3]

[tex3]\begin{cases}a\le b\\ b\le a\end{cases} \ \ \Longleftrightarrow a=b[/tex3]

Logo, para todo [tex3]a=b[/tex3] as condições do enunciado são cumpridas.

[lucas36]

Como a situação é simétrica em termos de [tex3]a, b[/tex3] (se trocarmos [tex3]a, b[/tex3] de lugar, nada acontece), suponha, sem perda de generalidade, que [tex3]a\ge b[/tex3].
Como [tex3]a|8b+1[/tex3], temos [tex3]8b+1=ak\ge bk[/tex3], ou seja, [tex3]k\le 9[/tex3].
Ainda veja que [tex3]k|8b+1[/tex3], onde conclui-se que [tex3]k[/tex3] é ímpar, pois [tex3]8b+1[/tex3] é ímpar.
Temos [tex3]5[/tex3] casos á analisar:

[tex3]k=1[/tex3], temos [tex3]a=8b+1[/tex3] e logo [tex3]b|8a+1[/tex3] e [tex3]b|64b+9[/tex3], onde [tex3]b|64b[/tex3] e logo [tex3]b|9[/tex3], onde [tex3]b=1, 5, 3, 9[/tex3].
Se [tex3]b=1[/tex3], temos [tex3]a=9[/tex3], que é de fato solução [tex3](9, 1)[/tex3].
Se [tex3]b=3[/tex3], temos [tex3]a=25[/tex3], que é de fato solução [tex3](25, 3)[/tex3].
Se [tex3]b=9[/tex3], temos [tex3]a=73[/tex3], que é de fato solução [tex3](73, 9)[/tex3].

[tex3]k=3[/tex3], temos [tex3]a=(8b+1)/3[/tex3] e logo [tex3]b|8a+1[/tex3] e [tex3]b|(64b+11)/3[/tex3].
[tex3](64b+11)/3[/tex3] deve ser inteiro e logo [tex3]b\equiv 1\pmod 3[/tex3], onde [tex3]b=3k+1[/tex3], donde temos [tex3]3k+1|64k+25[/tex3] e como [tex3]3k+1|21(3k+1)=63k+21[/tex3], temos [tex3]3k+1|(64k+25)-(63k+21)=k+4[/tex3] e logo [tex3]3k+1\le k+4[/tex3], onde [tex3]2k\le 3[/tex3] e como [tex3]k[/tex3] é inteiro, temos [tex3]k=1[/tex3], onde [tex3]b=4[/tex3] e [tex3]a=11[/tex3], que não é solução.

[tex3]k=5[/tex3], temos [tex3]a=(8b+1)/5[/tex3] e logo [tex3]b|8a+1[/tex3] e [tex3]b|(64b+13)/5[/tex3].
[tex3](64b+13)/5[/tex3] deve ser inteiro e logo [tex3]b\equiv 3\pmod 5[/tex3], onde [tex3]b=5k+3[/tex3], donde temos [tex3]5k+3|64k+41[/tex3] e como [tex3]5k+3|12(5k+3)=60k+36[/tex3], temos [tex3]5k+3|(64k+41)-(60k+36)=4k+5[/tex3] e logo [tex3]5k+3\le 4k+5[/tex3], onde [tex3]k\le 2[/tex3] e como [tex3]k[/tex3] é inteiro, temos [tex3]k=1[/tex3], onde [tex3]b=8[/tex3] e [tex3]a=13[/tex3], que não é solução, e [tex3]k=2[/tex3], onde [tex3]b=13[/tex3] e [tex3]a=21[/tex3], que é de fato solução [tex3](21, 13)[/tex3].

[tex3]k=7[/tex3], temos [tex3]a=(8b+1)/7[/tex3] e logo [tex3]b|8a+1[/tex3] e [tex3]b|(64b+13)/7[/tex3].
[tex3](64b+13)/7[/tex3] deve ser inteiro e logo [tex3]b\equiv 1\pmod 7[/tex3], onde [tex3]b=7k+1[/tex3], onde temos [tex3]7k+1|64k+77[/tex3] e como [tex3]7k+1|9(7k+1)=63k+9[/tex3], temos [tex3]7k+1|(64k+77)-(63k+9)=k+68[/tex3] e logo [tex3]7k+1\le k+68[/tex3], onde [tex3]6k\le 67[/tex3] e [tex3]k\le 11[/tex3].

[Cássio]

Parece que eu errei!

Mais admito que a resposta d Lucas36 não ficou muito clara para mim. Eu não entendi essas passagens:

Como [tex3]a|8b+1[/tex3], temos [tex3]8b+1=ak\ge bk[/tex3], ou seja, [tex3]k\le 9[/tex3].

Não sei de onde sai [tex3]k\le9.[/tex3]

[tex3]k=1[/tex3], temos [tex3]a=8b+1[/tex3] e logo [tex3]b|8a+1[/tex3] e [tex3]b|64b+9[/tex3], onde [tex3]b|64b[/tex3] e logo [tex3]b|9[/tex3], onde [tex3]b=1, 5, 3, 9[/tex3].

Valeu!!!

[lucas36]

Eu ainda não finalizei a resposta cássio, admito que, por preguiça, deixei de terminar os casos [tex3]k=7[/tex3] e de fazer o caso [tex3]k=9[/tex3], mas assim que tiver tempo, edito a resposta e a completo.


Se [tex3]a|b[/tex3], isto é [tex3]a[/tex3] divide [tex3]b[/tex3], é equivalente á [tex3]b[/tex3] ser múltiplo de [tex3]a[/tex3], por exemplo:
[tex3]5|20[/tex3] e [tex3]20[/tex3] é múltiplo de [tex3]5[/tex3].
Ser múltiplo, significa que [tex3]b[/tex3] é igual á [tex3]a[/tex3] multiplicado por um inteiro [tex3]k[/tex3].

Como [tex3]a|8b+1[/tex3], temos [tex3]8b+1=a\cdot k[/tex3], prum inteiro [tex3]k[/tex3].

Mas veja que [tex3]a\ge b[/tex3], então [tex3]ak\ge bk[/tex3], porque [tex3]k[/tex3] é inteiro positivo.
Logo [tex3]8b+1=ak\ge bk[/tex3], isto é [tex3]8b+1\ge bk[/tex3] se [tex3]k>9[/tex3], então [tex3]8b+1>9b[/tex3], onde [tex3]b<1[/tex3], absurdo, pq ñ temos inteiros positivos menores que [tex3]1[/tex3] !
Logo [tex3]k\le 9[/tex3].

Se [tex3]a|d[/tex3] e [tex3]a|c[/tex3], então [tex3]a|c-d[/tex3], isso é uma identidade.
Se [tex3]b|64b+9[/tex3] e sabemos que [tex3]b|64b[/tex3], pq [tex3]64b[/tex3] é múltiplo de [tex3]b[/tex3], logo [tex3]b|64b+9-(64b)=9[/tex3], onde [tex3]b|9[/tex3]. Os divisores positivos de [tex3]9[/tex3] são [tex3]1, 3, 9[/tex3] (o [tex3]5[/tex3] saiu por engano).
Logo [tex3]b=1, 3, 9[/tex3].