Olimpíadas ⇒ (Olipíada de Maio - 1997) Geometria plana Tópico resolvido

[matbatrobin]

No retângulo ABCD de lados AB, BC, CD e DA seja P um ponto do lado AD tal que [tex3]B\hat{P}C=90^{\circ}[/tex3]. A perpendicular a BP traçada por A corta BP em M e a perpendicular a CP traçada por D corta CP em N. Demonstre que o centro do retângulo está no segmento MN.

[fabit]

Existe uma simetria a ser explorada. Sejam BC=u e AB=v os comprimentos respectivos da base e da altura de ABCD.

Chamando [tex3]\theta=B\hat{A}M[/tex3], temos [tex3]\theta=A\hat{P}B=P\hat{D}N=D\hat{C}N[/tex3].

Chamando AP=x, imediatamente PD=u-x.

Prolongando DN na direção de BC, ele corta a base BC num ponto Q. Ocorre que BPDQ é paralelogramo e portanto BQ=u-x.

Se repetirmos o argumento para um possível paralelogramo APCS, sendo AS o prolongamento de AM, ficamos com CS=x.

Somando BQ+CS, temos u-x+x=u, que prova que os pontos Q e S na verdade são o mesmo ponto, isto é, S=Q.

Forma-se um retângulo MPNQ disposto simetricamente no interior de ABCD. Logo seus centros coincidem, sendo MN uma diagonal do retângulo MPNQ, tendo seu ponto médio no centro do retângulo ABCD.

cqd