Ensino Médio ⇒ Circunferência (Nível Hard)

[japerito]

hardocore.png (23.38 KiB) Exibido 1772 vezes

Se [tex3]GHDE[/tex3] é retângulo e possui altura igual ao raio da circunferência de centro [tex3]A[/tex3], sabendo também que [tex3]\overline{DI}=10[/tex3]. O valor do ângulo [tex3]DIE[/tex3].

Resposta

---

[tex3]60[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 25040)]

n entendo meu erro, se chamarmos de P o ponto onde o prolongamento de EI toca a circunferência podemos observar uma congruência entre os triângulos IDE e DEP
se x for a medida de EA ai temos que [tex3](EI)^2+x^2=r^2[/tex3]
ai temos também que [tex3](EP)^2 + x^2 = r^2[/tex3]
ai vemos que EI = y = EP, com isso usando a lei dos cossenos no triangulo ADP e sabendo que o angulo PAD é 2 alpha pois enxerga o mesmo arco que o EID, vamos ver que [tex3]100 = r^2+r^2-2r^2\cos(2\alpha)=2r^2-2r^2\cos(2\alpha)[/tex3]
ai agora usando a lei dos senos no triangulo DIP vamos ver que [tex3]2r\sen\alpha=10\iff r\sen\alpha=5[/tex3]
ai substituindo em [tex3]100=2r^2-2r^2\cos(2\alpha)\\
100 = 2\frac{5^2}{\sen^2\alpha}-2\frac{5^2}{\sen^2\alpha}\cos(2\alpha)\\
50 -\frac{25}{\sen^2\alpha}=-\frac{25}{\sen^2\alpha}\cos2\alpha\\
2-\frac{1}{\sen^2\alpha}=\frac{1}{\sen^2\alpha}\cos2\alpha\\
2\sen^2\alpha-1=\cos 2\alpha\\
-(1-2\sen^2a)=\cos 2a\\
-\cos 2a=\cos 2a\\
2\cos 2a=0\\
\cos 2a=0[/tex3]
encontro então a = 45º

[Auto Excluído (ID: 25040)]

[tex3]{\color{red}\text{A resolução a seguir está incorreta, mas acho proveitosa a leitura para ver o porque de estar incorreta}}[/tex3]
trace ID
se P for o ponto onde o prolongamento de IE corta a circunferência com I diferente de P,
trace PD.
A vai ser o circuncentro de PID
pois todos os vértices do triangulo estão na circunferência de centro A
mas se A é o circuncentro, então A é o encontro das mediatrizes, com isso vemos facilmente que o triangulo DIE é congruente ao triangulo PED pois ED é uma mediatriz e então por LAL ( ED, 90º, EP = IE pois a mediatriz corta de maneira perpendicular o ponto médio)
ali sei que o angulo é de 90º pois o enunciado diz que tem um retangulo ali
ai descobrimos que PD = 10
(dava para ter feito usando pitagoras nos triangulo PEA e AEI)
se Q for o ponto médio de DI, então
IQP é congruente a QPD por LAL (QP, 90º, Q é ponto medio então IQ = DI)
mas com isso descobrimos que IP = 10 e se olharmos os outros lados vemos que todos valem 10 ai temos um triangulo equilátero e
a = 60º

[Auto Excluído (ID: 24633)]

trace ID
se P for o ponto onde o prolongamento de IE corta a circunferência com I diferente de P,
trace PD.
A vai ser o circuncentro de PID
pois todos os vértices do triangulo estão na circunferência de centro A
mas se A é o circuncentro, então A é o encontro das mediatrizes, com isso vemos facilmente que o triangulo DIE é congruente ao triangulo PED pois ED é uma mediatriz e então por LAL ( ED, 90º, EP = IE pois a mediatriz corta de maneira perpendicular o ponto médio)
ali sei que o angulo é de 90º pois o enunciado diz que tem um retangulo ali
ai descobrimos que PD = 10
(dava para ter feito usando pitagoras nos triangulo PEA e AEI)
se Q for o ponto médio de DI, então
IQP é congruente a QPD por LAL (QP, 90º, Q é ponto medio então IQ = DI)
mas com isso descobrimos que IP = 10 e se olharmos os outros lados vemos que todos valem 10 ai temos um triangulo equilátero e
a = 60º

Uma pergunta: Por quê [tex3]\angle PQI = 90 \degree[/tex3]?

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Na minha opinião essa questão não é difícil; ela é impossível. Pois não a informação suficiente para resolver o problema. Dada qualquer circunferência de diâmetro maior que [tex3]10[/tex3] existe uma corda de tamanho [tex3]10[/tex3] e essa é a única informação contida no enunciado então a circunferência não tem nada de especial e não dá para resolver o problema.

Ainda tem o fato de que [tex3]GHDE[/tex3] é retângulo; mais isso é.... inútil; de fato, dado qualquer ponto da circunferência podemos criar o retângulo [tex3]GHDE[/tex3] e todos eles terão altura igual ao raio da circunferência (isso é fácil de ver desde que o raio da circunferência que passa pelo ponto de tangência é perpendicular a tangente.

[Auto Excluído (ID: 25040)]

Uma pergunta:

Q é ponto medio
com isso QI = QD e AID é isoceles então IA = AD = r
e os ângulos QIA = QDA
então por LAL
os triângulos QIA, QAD são congruentes
ai vemos que o angulo AQD + IQA = 180º, mas como eles são iguais, então cada um vale 90º

[FelipeMartinMOD]

pedro1729, eu assino embaixo.O problema é impossível.

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Uma pergunta:

Q é ponto medio
com isso QI = QD e AID é isoceles então IA = AD = r
e os ângulos QIA = QDA
então por LAL
os triângulos QIA, QAD são congruentes
ai vemos que o angulo AQD + IQA = 180º, mas como eles são iguais, então cada um vale 90º

Outra pergunta: por que [tex3]\angle QIA = \angle QDA[/tex3]?

[Auto Excluído (ID: 24633)]

[user]null[/user], todos os seus argumentos conduzem a [tex3]PQ=PD;[/tex3] de fato, se isso for provado o problema acaba. Mas me parece que você "demonstra" isso de uma maneira muito elaborada como traçar um ponto médio prolongar um segmento e em algum momento você joga um fato sem justificativa como [tex3]\angle PDI = 90\degree[/tex3] ou [tex3]\angle QIA = \angle QDA[/tex3] que não são necessariamente verdade.

Quando conseguir uma solução em que cada afirmação possa ser rigorosamente demonstrada; aí nós conversamos....

[Auto Excluído (ID: 25040)]

entendi meu erro, estava considerando que a mediatriz de ID passava por P, mas isso n é necessariamente verdade
apenas no caso onde a mediatriz e a mediana são o mesmo segmento