Ensino Superior ⇒ Variável Aleatória

[marcosaug]

Seja: [tex3]f(x)=4x^3[/tex3] quando 0<x<1 e igual a zero em outro caso.
a) Ache um número a tal que se tenha igual probabilidade de x ser maior do que a e ser menor do que a.

Resposta

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a) 0,841

[AnthonyC]

Só uma dúvida, não deveria ser

tal que se tenha igual probabilidade de [tex3]f(x)[/tex3] ser maior

[marcosaug]

Eu acho que sim, a questão no livro está escrita assim daquele jeito, mas deve ser f(x) mesmo.

[AnthonyC]

Qual o nome do livro?

Assim, se ele apenas quiser um número [tex3]a\in D=(0,1)[/tex3], tal que se tenha igual probabilidade de [tex3]x\in D[/tex3] ser maior e menor que [tex3]a[/tex3], esse é mais fácil de fazer.

Dado este número [tex3]a[/tex3], podemos dividir o intervalo [tex3]D[/tex3] em duas partes:
[tex3]D=(0,a]\cup[a,1)[/tex3]
Para que [tex3]x < a[/tex3], devemos ter [tex3]x\in(0,a][/tex3]. A probabilidade de obtermos um valor dentro de um intervalo é o comprimento do intervalo desejado dividido pelo comprimento do intervalo total:
[tex3]\text{L}\{D\}=1-0=1[/tex3]
[tex3]\text{L}\{(0,a]\}=a-0=a[/tex3]
Assim:
[tex3]P(x< a)={\text{L}\{(0,a]\}\over \text{L}\{D\}}[/tex3]
[tex3]P(x< a)=a[/tex3]

Analogamente, para que [tex3]x > a[/tex3], devemos ter [tex3]x\in[a,1)[/tex3].
[tex3]\text{L}\{[a,1)\}=1-a[/tex3]
Assim:
[tex3]P(x> a)={\text{L}\{[a,1)\}\over \text{L}\{D\}}[/tex3]
[tex3]P(x> a)=1-a[/tex3]

Queremos que estas sejam iguais:
[tex3]P(x< a)=P(x> a)[/tex3]
[tex3]a=1-a[/tex3]
[tex3]2a=1[/tex3]
[tex3]a={1\over2}=0.5[/tex3]

Sem ver o livro, não consigo pensar em outra forma de resolver, por que não sei o que ele quer.