Ensino Médio ⇒ Funcao real de variavel real Tópico resolvido

[Ronny]

Um misturador tem uma capacidade de [tex3]70 [/tex3] litros e nele ha [tex3]20 [/tex3] litros de uma solucao sacarose. Determine uma funcao que expresse a quantidade de solucao no misturador(sem que este se transborde) em qualquer instante [tex3]t[/tex3], se:

[tex3]A)[/tex3] Entra agua a razao de [tex3]4l/min[/tex3]

[tex3]B)[/tex3] Entra agua a razao de [tex3]4l/min[/tex3] e sai a razao de [tex3]2l/mts[/tex3];

[tex3]C)[/tex3] Entra agua a razao de [tex3]4l/min[/tex3] durante [tex3]10min[/tex3] e entao se fecha a chave por onde esta entra.

[AnthonyC]

a) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3]
Primeiro vamos verificar o volume total no tanque:
Como entra [tex3]4 \text { L}[/tex3], em [tex3]t[/tex3] minutos entram [tex3]4t[/tex3] litros, que somados com o volume inicial de [tex3]20 \text { L} [/tex3] resultam em :
[tex3]V(t)=20+4t[/tex3]
O volume não pode ultrapassar [tex3]70 \text{ L}[/tex3], então:
[tex3]V(t)\leq 70[/tex3]
[tex3]20+4t\leq 70[/tex3]
[tex3]4t\leq 50[/tex3]
[tex3]t\le 12.5 \text { min}[/tex3]
Então o domínio da função é [tex3][0,12.5][/tex3]

Como só entra água, a quantidade inicial de sacarose se mantêm, assim, a quantidade de sacarose num dado instante é:
[tex3]S(t)=20\text { L}[/tex3]


b) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3] e sai a razão de [tex3]2~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3]
Primeiro vamos verificar o volume total no tanque:
Como entra [tex3]4 \text { L}[/tex3] e sai [tex3]2 \text { L}[/tex3] por minuto, então a cada minuto o volume aumenta em [tex3]2 \text { L}[/tex3]. Logo, em [tex3]t[/tex3] minutos, entram [tex3]2t[/tex3] litros, que somados com o volume inicial de [tex3]20 \text { L} [/tex3] resulta em :
[tex3]V(t)=20+2t[/tex3]
O volume não pode ultrapassar [tex3]70 \text{ L}[/tex3], então:
[tex3]V(t)\leq 70[/tex3]
[tex3]20+2t\leq 70[/tex3]
[tex3]2t\leq 50[/tex3]
[tex3]t\le 25 \text { min}[/tex3]
Então o domínio da função é [tex3][0,25][/tex3]

Pra calcular a quantidade de sacarose, precisamos usar equações diferenciais. Creio que não seja possível fazer de outra forma.
A quantidade de sacarose iniciou em [tex3]S(0)=20[/tex3]. Supondo que a quantidade de sacarose que sai seja proporcional a quantidade que existe no tanque. Portanto, a variação da quantidade de sacarose num instante [tex3]t[/tex3] será igual à quantidade quantidade existente dividido pelo volume ocupado no tanque, ambos no mesmo instante [tex3]t[/tex3]:
[tex3]S'(t)=-\frac{S(t)}{V(t)}[/tex3]
O sinal negativo representa que está quantidade está sendo deduzida do total, já que ela está saindo.
Assim, temos:
[tex3]S'(t)=-\frac{S(t)}{V(t)}[/tex3]
[tex3]\frac{S'(t)}{S(t)}=-\frac{1}{V(t)}[/tex3]
[tex3]\int\frac{S'(t)}{S(t)}dt=\int-\frac{1}{V(t)}dt[/tex3]
[tex3]\ln(S(t))=-\int\frac{1}{20+2t}dt[/tex3]
[tex3]\ln(S(t))=-{1\over2}\ln(20+2t)+C[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)+C}[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)}\cdot e^C[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{-{1\over2}\ln(20+2t)}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)=e^{\ln\([20+2t]^{-{1\over2}}\)}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)=[20+2t]^{-{1\over2}}\cdot A[/tex3]
[tex3]S(t)={A\over \sqrt{20+2t}}[/tex3]

Pra descobrirmos [tex3]A[/tex3], basta usar a condição inicial:
[tex3]S(0)={A\over \sqrt{20+2\cdot0}}[/tex3]
[tex3]20={A\over \sqrt{20}}[/tex3]
[tex3]20\sqrt{20}=A[/tex3]

Assim, a quantidade de sacarose após [tex3]t[/tex3] minutos é:
[tex3]S(t)={20\sqrt{20}\over \sqrt{20+2t}}[/tex3]



c) Entra água a razão de [tex3]4~ {\text { L}/\text {min}}[/tex3] durante [tex3]10 \text{ min}[/tex3] e então se fecha a chave por onde esta entra.
Aqui a quantidade também não muda, dado que apenas água entra. Então:
[tex3]S(t)=20[/tex3]