Ensino Médio ⇒ Equação do terceiro grau Tópico resolvido

[Doug]

Ae galera esqueci como que simplifica essa equação para achar as raízes:

[tex3]m^{3}-2m+1=0[/tex3]

Ela aparece na questão 3 da fuvest desse ano quando ta procurando os valores de m para o sistema ter infinitas soluções, só que não lembro como que resolve, aushaushuahushuahus, obrigado e t+

[Natan]

Oi,

como a soma dos coeficientes é zero, [tex3]1[/tex3] é raíz, logo o polinômio é divisível por [tex3]x-1.[/tex3] Após a divisão ficamos com:

[tex3]x^2+x-1=0 \Rightarrow x=\frac{-1 \pm\sqrt5}{2}[/tex3]

Logo as raízes são [tex3]S=\left\{\frac{-1 -\sqrt5}{2},\, 1,\, \frac{-1 +\sqrt5}{2}\right\}[/tex3]

[Doug]

Opa muito obrigado Natan a resposta é isso mesmo ,um professor do objetivo fatoro ela assim:

[tex3]m^{3}-2m+1=0\to\,(m-1)\cdot(m^{2}+m-1)=0[/tex3]

Você ou alguém sabe como ele fez?!? Obrigado de novo e t+

[adrianotavares]

Olá, doug.

[tex3]m^3-2m+1= m^3-m-m+1= m(m^2-1)- (m-1)= m(m+1)(m-1) -(m-1) \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow (m-1)(m^2+m) - (m-1)[/tex3]

Colocando o fator comum [tex3](m-1)[/tex3] em evidência teremos:

[tex3](m-1).(m^2+m-1)[/tex3]

Logo:

[tex3]m^3-2m+1= (m-1)(m^2+m-1)[/tex3]

[Natan]

Exato, ele notou que [tex3]1[/tex3] é raíz e portanto [tex3]m-1[/tex3] é um dos seu fatores primos do primeiro grau, e ai fazendo a divisão: [tex3]\frac{m^3-2m+1}{(m-1)}=m^2+m-1[/tex3] e portanto:

[tex3]m^3-2m+1=(m-1)(m^2+m-1)[/tex3]

ou também poderia ser com todos os fatores no primeiro grau:

[tex3]m^3-2m+1=(m-1)(m+\frac{1-\sqrt5}{2})(m+\frac{1+\sqrt5}{2})[/tex3]

a partir dessa última poderíamos chegar a primeira apenas multiplicando dois últimos fatores mais isso não é necessário e eu diria até um incoveniente tendo em visto que os números são meio chatos de se manipular.

[Doug]

Opa, obrigado Natan e adrianotavares pela atenção de vocês, abraço e t+