Ensino Superior ⇒ Implicação lógica

[L0José]

Não entendi a parte do texto circulada em verde na imagem abaixo, poderiam explicar com algum exemplo??

[PeterPark]

Toda proposição P implica uma tautologia T:
Antes é necessário abstrair muito bem o conceito de implicação.
Quando eu digo:
[tex3]P\rightarrow Q[/tex3]
Implicitamente estou dizendo "Se P é verdade, então Q deve ser verdade".
Se P=V
Para que a expressão seja válida, Q=V. (obrigatoriamente).
Isso não pode acontecer:
[tex3]V\rightarrow F[/tex3]
pois se a primeira é V a segunda DEVE ser.

Lembrando que nunca preciso dizer:
Se P=V
Pois o simples fato de dizer P já considera P sendo verdade!!


Ah, mas e se P=F?
Essa expressão [tex3]P\rightarrow Q[/tex3] não fala nada sobre Se P=F. (Ela fala simplesmente.... Se P)

Então se P=F "tanto faz", Q pode ser verdadeiro ou falso... e a expressão continua válida.
A expressão apenas exige Q=V CASO P=V. Lê-se (Q caso P)
Lembre:
"Implicitamente estou dizendo "Se P é verdade, então Q deve ser verdade"."



Toda proposição P implica uma tautologia T:
[tex3]P \rightarrow T[/tex3]

Se P for verdadeiro, A tautologia DEVE ser verdadeira... ora, isso será sempre cumprido! Uma tautologia é sempre verdadeira.
Ah, mas e se P for falso? A expressão é trivialmente verdadeira.
Por que?
Porque a expressão não exige nada em relação ao P sendo falso, exige apenas em relação a P=V.
Exige que caso P=V então obrigatoriamente T=V (o que sempre será satisfeito).





Somente uma contradição implica numa contradição:

Uma contradição é sempre falsa, e chamamos ela de F.
[tex3]alguma~coisa\rightarrow F[/tex3]

Lembrando de novo:
Quando eu digo:
[tex3]P\rightarrow Q[/tex3]
Implicitamente estou dizendo "Se P é verdade, então Q deve ser verdade".

Como sabemos que Q nesse caso [tex3]alguma~coisa\rightarrow F[/tex3] é sempre Falso.
O "alguma coisa" nunca pode ser verdadeiro, pois desrespeitaria a regra.
[tex3]P\rightarrow F[/tex3]
Se P é verdade, F DEVE ser verdade ---->> impossível!

Então P deve ser FALSO.
Somente uma contradição implica uma contradição.