Ensino Médio ⇒ (IME-2011)Reta tangente Tópico resolvido

[ASPIRADEDEU]

Galera alquem me dar um macete para esse tipo de questão,pois sinceramente estou fazendo por um metodo que demora e quase que é impossivel que é o de susbtituir e equivaler o [tex3]\Delta [/tex3]=0,perdi 6 minutos na questão e ainda errei

A equação da reta tangente à curva de equação [tex3]x^{2}[/tex3]+4 [tex3]y^{2}[/tex3]=100 no ponto P(8,3) é:

a) 2x+3y=25
b)x+y=11
c)3x+2y=18
d)x+2y=14
e)3x+2y=30

Resposta

---

GAB:A

Algum mod reposiciona o tópico, só fui descobrir agora que a questão é do IME

[csmarceloMOD]

[tex3]y(x)=+\frac{\sqrt{100-x^2}}{2}[/tex3] * O sinal é positivo, pois [tex3]P[/tex3] está no primeiro quadrante.

Derivando

[tex3]y'(x)=-\frac{x}{2\sqrt{100-x^2}}[/tex3]

Logo,

[tex3]x=8\rightarrow y'(x)=-\frac{2}{3}[/tex3]

Jogando o valor de [tex3]x[/tex3] e as coordenadas do ponto [tex3]P[/tex3] na equação da reta

[tex3]3=-\frac{2}{3}\cdot8+b\therefore b=\frac{25}{3}[/tex3]

Assim,

[tex3]y={\color{red}-}\frac{2}{3}x+\frac{25}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{3}x{\color{red}+}y=\frac{25}{3}[/tex3]

[tex3]2x{\color{red}+}3y=25[/tex3]

[ASPIRADEDEU]

@csmarceloMOD tem como fazer por outra forma sem ser derivad,pois ainda não tenho esses conhecimentos.

[csmarceloMOD]

Putz, só me vem esse à cabeça...

[petrasMOD]

ASPIRADEDEU,
A forma canônica da elipse é:
[tex3]\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1\\
[/tex3]

Sendo P(8,3), Existe uma demonstração que a reta tangente à uma elipse que passa por um ponto P(xo, yo) tem a forma :
[tex3]\boxed{\color{red}{b^2x_ox+a^2y_oy=a^2b^2}}\rightarrow 25x_ox+100y_oy=100.25\rightarrow \\
25.8x+100.3y=2500\rightarrow 200x+300y = 2500 (\div 100)\rightarrow \boxed{2x+3y =25} [/tex3]

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Olá @ASPIRADEDEU, @csmarceloMOD e @petrasMOD; vi outro jeito (sem usar derivada ou equação da elipse) que veio de uma observação e de uma mudança de variável;

Temos que [tex3]x^2 + 4y^2 = 100 \iff x^2 + (2y)^2 = 10^2;[/tex3] chamando [tex3]z := 2y[/tex3] vem [tex3]x^2 + z^2 = 10^2[/tex3] e essa é a equação de uma circunferência centrada na origem de sistema cartesiano Oxz (note que a ordenada é [tex3]z[/tex3] e não [tex3]y[/tex3]) de raio [tex3]10.[/tex3]

Queremos saber a equação da reta tangente a circunferência no ponto [tex3]P(x=8;~y=3)[/tex3] que em nosso sistema Oxz corresponde a [tex3]P(x=8;~z=2y=6).[/tex3] Note que, de fato, esse ponto pertence a circunferência pois [tex3]x_p^2+z_p^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2.[/tex3] Considere o esboço em anexo.

Eu não sou muito fã de analítica (eu gosto mais de sintética) e eu não sei como, em geral, é feito para determinar a tangente a uma circunferência por um dado ponto (eu quero dizer o jeito mais comum visto em apostilas e livros didáticos); mas eu vou fazer desse jeito: Determinarei a equação da reta [tex3]\overleftrightarrow{OP}[/tex3] e usarei isso para determinar a equação da reta tracejada (que queremos saber)



Seja [tex3]\overleftrightarrow{OP}:~z=ax+b[/tex3] temos que o ponto [tex3]O(x=0;~z=0)[/tex3] pertence a [tex3]\overleftrightarrow{OP}[/tex3] e então [tex3]0=a\cdot 0 +b[/tex3] ou seja [tex3]b=0[/tex3] e [tex3]z=ax;[/tex3] além disso [tex3]P(x=8,~z=6)[/tex3] pertence a [tex3]\overleftrightarrow{OP}[/tex3] e logo [tex3]6=a \cdot 8[/tex3] donde [tex3]a = \dfrac{3}{4}[/tex3] e segue que a equação da reta [tex3]\overleftrightarrow{OP}[/tex3] é [tex3]z= \dfrac{3}{4} ~x.[/tex3]

Agora, seja [tex3]z= mx+t[/tex3] a equação da reta tracejada. A reta [tex3]\overleftrightarrow{OP}[/tex3] é normal a circunferência, enquanto a tracejada é tangente a mesma; então elas são perpendiculares e logo o produto de seus coeficientes angulares é [tex3]-1[/tex3] ou seja
[tex3]m \cdot \left(\dfrac{3}{4} \right) =-1 \Rightarrow m=-\dfrac{4}{3}[/tex3] e então [tex3]z = \left(-\dfrac{4}{3} \right)x + t.[/tex3]

Além disso, o ponto [tex3]P( x=8;~z=6)[/tex3] pertence a reta tracejada logo [tex3]z_p = \left( -\dfrac{4}{3} \right) \cdot x_p +t[/tex3] ou seja [tex3]6 = \left(-\dfrac{4}{3} \right) \cdot 8 +t \Rightarrow t= 6+ \dfrac{32}{3}=\dfrac{50}{3}[/tex3]


E assim a equação da reta desejada é [tex3]z= \left(\dfrac{-4}{3} \right)x + \dfrac{50}{3}.[/tex3] Retomando [tex3]z=2y[/tex3] temos [tex3]2y= \left(\dfrac{-4}{3} \right)x + \dfrac{50}{3} \iff \boxed{2x+3y= 25.}[/tex3]

[petrasMOD]

csmarcelo,
Veja os sinais tem algum erro

[csmarceloMOD]

Que zona que eu fiz... corrigido!

[petrasMOD]

Demonstração do teorema para quem se interessar
Fonte(http://www.professores.uff.br)

[ASPIRADEDEU]

@petrasMOD [user]pedro1729[/user] Vlw demais vcs são fodas.(Pena que não dar para dar 3 verificações)

Petras esse metodo ele só é válido quando o ponto pertence a cônica ou para pontos fora da cônica tb ?
é um dos metodos que economiza muito tempo top demais.