Olimpíadas ⇒ (Berkeley) Divisores Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Mostre que existem infinitos números naturais n com a seguinte propriedade: a soma de todos os divisores positivos de n, excluindo n, é igual a n + 12.

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Infelizmente, eu não posso dizer bem de onde eu tirei essa ideia; tem haver com uns problemas de combinatória sobre a soma dos divisores de um número em função de sua fatoração prima... mas enfim:

Se [tex3]p \ne 2,3[/tex3] é um primo, então a soma dos divisores de [tex3]6p[/tex3] (diferentes de [tex3]6p[/tex3]) é
[tex3]1+2+3 +6 +p+2p+3p=6p+12[/tex3].

Como existem infinitos primos; a demonstração está concluída

[Auto Excluído (ID: 24633)]

Eu acho que a minha solução ficou um pouco out of the blue então eu vou tentar explicar de onde eu tirei a ideia.

Note que se a soma dos divisores positivos de [tex3]n[/tex3] (diferentes de [tex3]n[/tex3]) é [tex3]n+12[/tex3] então a soma dos divisores positivos de [tex3]n[/tex3](incluindo [tex3]n[/tex3]) é [tex3]n+ (n+12)=2n+12=2(n+6).[/tex3]

O fato dessa expressão ser trivialmente "fatorável" me chamou a atenção para um problema de combinatória que eu vi um tempo atrás. O problema não era exatamente esse mas é uma variação dele muito útil. Se [tex3]n= a\cdot b[/tex3] com [tex3]mdc(a,b) =1[/tex3] então a soma de divisores de [tex3]n[/tex3] é igual a soma dos divisores de [tex3]a[/tex3] vezes a soma dos divisores de [tex3]b.[/tex3]

Daí eu tentei forçar aparecer [tex3]2(n+6);[/tex3] Depois de algumas tentativas eu cheguei que [tex3]n = 6p[/tex3] para [tex3]p \ne 2,~3[/tex3] primo satisfazia o enunciado.