IME / ITA ⇒ (ITA - 1973) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Suponhamos que [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] são os catetos de um triângulo retângulo e [tex3]h[/tex3] a altura relativa à hipotenusa do mesmo. Nestas condições, podemos afirmar que a equação:
[tex3]\frac{2}{p}x^2-\frac{2}{h}x+\frac{1}{q}=0[/tex3] ([tex3]\mathbb{R}[/tex3] é o conjunto dos números reais)

a) não admite raízes reais.
b) admite uma raiz da forma [tex3]m\sqrt{-1}[/tex3], onde [tex3]m \in \mathbb{R}[/tex3], [tex3]m > 0[/tex3].
c) admite sempre raízes reais.
d) admite uma raiz da forma [tex3]{-}m\sqrt{-1}[/tex3], onde [tex3]m \in \mathbb{R}[/tex3], [tex3]m > 0[/tex3].
e) n.d.a.

[fabit]

Vejamos o discriminante:

[tex3]\Delta=b^2-4ac=\frac{4}{h^2}-\frac{8}{pq}[/tex3]

Seja [tex3]a[/tex3] a hipotenusa. Sabemos que [tex3]pq=ah[/tex3]. Então:

[tex3]\Delta=\frac{4}{h^2}-\frac{8}{ah}=\frac{4a-8h}{ah^2}=\frac{4}{ah^2}\(a-2h\)[/tex3]

Ocorre que [tex3]\boxed{a\geq2h}[/tex3], sendo igual somente se p=q e maior nos demais casos, logo [tex3]\Delta\geq0[/tex3].

Letra C

Obs: Com relação à desigualdade destacada, trace o semicírculo circunscrito ao triângulo. O diâmetro é [tex3]a[/tex3] e a altura h é menor que o raio nos casos escalenos e no máximo igual, só se for isósceles (quando o pé da altura é o centro da hipotenusa).