Olimpíadas ⇒ (Problem Solving) Congruências Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Prove que se m termina em 5 então
[tex3]1991|12^m+9^m+8^m+6^m [/tex3]

[Auto Excluído (ID: 25040)]

..............................up.....................................

[Ittalo25MOD]

[tex3]12^m+9^m+8^m+6^m = 3^m\cdot 2^{2m} +3^{2m}+ 2^{3m}+2^m\cdot 3^m = 2^{2m} \cdot (3^m+2^m)+3^{m}\cdot (3^m+2^m) [/tex3]
[tex3](3^m+2^m) \cdot (2^{2m}+3^m) [/tex3]

Se m termina em 5, então [tex3]m=5k [/tex3] com k ímpar:

[tex3](3^{5k}+2^{5k}) \cdot (2^{10k}+3^{5k}) [/tex3]

Como k é ímpar então fatora: [tex3](2^{10k}+3^{5k}) = (2^{10}+3^5)(....) [/tex3]

[tex3](3^5+2^5)\cdot (....) \cdot (2^{10}+3^5) \cdot (....) [/tex3]
[tex3]25 \cdot 11 \cdot (....) \cdot 7 \cdot 181 \cdot (....) [/tex3]

E [tex3]1991 = 11 \cdot 181 [/tex3]
está feito

[NigrumCibum]

[tex3]12^m+9^m+8^m+6^m = 3^m\cdot 2^{2m} +3^{2m}+ 2^{3m}+2^m\cdot 3^m = 2^{2m} \cdot (3^m+2^m)+3^{m}\cdot (3^m+2^m) [/tex3]
[tex3](3^m+2^m) \cdot (2^{2m}+3^m) [/tex3]

Se m termina em 5, então [tex3]m=5k [/tex3] com k ímpar:

[tex3](3^{5k}+2^{5k}) \cdot (2^{10k}+3^{5k}) [/tex3]

Como k é ímpar então fatora: [tex3](2^{10k}+3^{5k}) = (2^{10}+3^5)(....) [/tex3]

[tex3](3^5+2^5)\cdot (....) \cdot (2^{10}+3^5) \cdot (....) [/tex3]
[tex3]25 \cdot 11 \cdot (....) \cdot 7 \cdot 181 \cdot (....) [/tex3]

E [tex3]1991 = 11 \cdot 181 [/tex3]
está feito

Se m termina em 5 então poderia ser [tex3]m=10k+5[/tex3]?

[Ittalo25MOD]

[tex3]12^m+9^m+8^m+6^m = 3^m\cdot 2^{2m} +3^{2m}+ 2^{3m}+2^m\cdot 3^m = 2^{2m} \cdot (3^m+2^m)+3^{m}\cdot (3^m+2^m) [/tex3]
[tex3](3^m+2^m) \cdot (2^{2m}+3^m) [/tex3]

Se m termina em 5, então [tex3]m=5k [/tex3] com k ímpar:

[tex3](3^{5k}+2^{5k}) \cdot (2^{10k}+3^{5k}) [/tex3]

Como k é ímpar então fatora: [tex3](2^{10k}+3^{5k}) = (2^{10}+3^5)(....) [/tex3]

[tex3](3^5+2^5)\cdot (....) \cdot (2^{10}+3^5) \cdot (....) [/tex3]
[tex3]25 \cdot 11 \cdot (....) \cdot 7 \cdot 181 \cdot (....) [/tex3]

E [tex3]1991 = 11 \cdot 181 [/tex3]
está feito

Se m termina em 5 então não deveria ser [tex3]m=10k+5[/tex3]?

Também pode ser:
[tex3](3^m+2^m) \cdot (2^{2m}+3^m) [/tex3]
[tex3](3^{10k+5}+2^{10k+5}) \cdot (2^{20k+10}+3^{10k+5}) [/tex3]
[tex3]((3^5)^{2k+1}+(2^{5})^{2k+1}) \cdot ((2^{10})^{2k+1}+(3^5)^{2k+1}) [/tex3]
e então troca o [tex3]2k+1 \rightarrow k[/tex3] e define o k como sendo sempre ímpar.

[NigrumCibum]

[tex3]12^m+9^m+8^m+6^m = 3^m\cdot 2^{2m} +3^{2m}+ 2^{3m}+2^m\cdot 3^m = 2^{2m} \cdot (3^m+2^m)+3^{m}\cdot (3^m+2^m) [/tex3]
[tex3](3^m+2^m) \cdot (2^{2m}+3^m) [/tex3]

Se m termina em 5, então [tex3]m=5k [/tex3] com k ímpar:

[tex3](3^{5k}+2^{5k}) \cdot (2^{10k}+3^{5k}) [/tex3]

Como k é ímpar então fatora: [tex3](2^{10k}+3^{5k}) = (2^{10}+3^5)(....) [/tex3]

[tex3](3^5+2^5)\cdot (....) \cdot (2^{10}+3^5) \cdot (....) [/tex3]
[tex3]25 \cdot 11 \cdot (....) \cdot 7 \cdot 181 \cdot (....) [/tex3]

E [tex3]1991 = 11 \cdot 181 [/tex3]
está feito

Se m termina em 5 então não deveria ser [tex3]m=10k+5[/tex3]?

Também pode ser:
[tex3](3^m+2^m) \cdot (2^{2m}+3^m) [/tex3]
[tex3](3^{10k+5}+2^{10k+5}) \cdot (2^{20k+10}+3^{10k+5}) [/tex3]
[tex3]((3^5)^{2k+1}+(2^{5})^{2k+1}) \cdot ((2^{10})^{2k+1}+(3^5)^{2k+1}) [/tex3]
e então troca o [tex3]2k+1 \rightarrow k[/tex3] e define o k como sendo sempre ímpar.

Obrigado.