IME / ITA ⇒ (AFA 2004) Funções

[Auto Excluído (ID:3002)]

Analise os itens abaixo classificando-os com VERDADEIRO(S) ou FALSO(S).

I) Se [tex3]\sen x+\cos x=\frac{1}{\sqrt3}[/tex3], então [tex3]\sen 2x= -0,666...[/tex3]
II) Se [tex3]f(x)=x^2+\sqrt2x+\sen \alpha, \alpha\in[0,2\pi][/tex3], é positiva [tex3]\forall x \in \Re[/tex3], então [tex3]\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{5 \pi}{6}[/tex3]
III) O gráfico de [tex3]f(x)=\sen(\arcsen x)[/tex3] é uma reta.

A seqüencia correta é:

a) V, V, F
b) F, V, F
c) F, V, V
d) V, F, V

Resposta

---

Gabarito: letra a

[triplebig]

Certo I) Se [tex3]\text{sen}x+cosx=\frac{1}{\sqrt3}[/tex3], então [tex3]\text{sen}2x= -0,666...[/tex3]

[tex3]\;\;\;\;(\text{sen}x+\cos x)^2=\frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow \;\text{sen}^2x+\cos^2x+2\cdot \text{sen}x \cdot \cos x=\frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow \;1+\text{sen}2x=\frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow \;\text{sen}2x=\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}[/tex3]

Certo II) Se [tex3]f(x)=x^2+\sqrt2x+sen\alpha, \alpha\in[0,2\pi][/tex3], é positiva [tex3]\forall x \in \Re[/tex3], então [tex3]\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{5 \pi}{6}[/tex3]

Para a função ser positiva, o valor do discriminante [tex3](\Delta)[/tex3] deve ser menor do que [tex3]0[/tex3] e o valor do coeficiente dominante deve ser positivo (que ja é).

[tex3]\Delta=\sqrt{2}^2-4\cdot\text{sen}\alpha<0\; \Leftrightarrow \;\text{sen}\alpha>\frac{1}{2}[/tex3]

Então [tex3]\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{5\pi}{6}[/tex3] :

Seno.jpg (19.57 KiB) Exibido 2228 vezes

Errado III) O gráfico de [tex3]f(x)=\text{sen(arcsen}x)[/tex3] é uma reta.

É certo que [tex3]\text{sen(arcsen}x)=x[/tex3] , que é uma reta, mas a função [tex3]\text{arcsen}x[/tex3] é só definida para [tex3]{-}1\leq x\leq 1[/tex3] . Assim o gráfico seria um segmento.

[ASPIRADEDEU]

Alquem poderia me explicar essa II ?

[Auto Excluído (ID: 25040)]

caraca, o jeito que ele pensou foi muito interessante se uma função é sempre positiva ela n tem raiz real e se ela n tem raiz real, como é uma função quadrática o discriminante é negativo
[tex3]\sqrt{2}^2-4\cdot\text{sen}\alpha<0\\2-4\sen \alpha<0[/tex3] ai ele resolve essa inequação que for sobre a inequação sua duvida me diz @ASPIRADEDEU

[A13235378]

Alquem poderia me explicar essa II ?

Olá:

Perceba que o grafico dessa funçao é uma parabola de concavidade para cima, assim concorda que se o delta dessa funcao for maior que zero , havera duas raizes , tais que essas raizes cortam o eixo x? E tudo o que está abaixo do eixo x (pintado de verde) é quando f(x) < 0?

Assim , para que f(x) sempre seja postivo , delta dessa funçao necessariamente deve ser menor que zero para que nao haja raizes.

Sem título.png (7.13 KiB) Exibido 1419 vezes

[tex3]\Delta <0 = \sqrt{(2-4sen\alpha )}<0=sen\alpha >1/2.[/tex3]

Assim , [tex3]\alpha >30^{o}[/tex3] e [tex3]\alpha <150^{o}[/tex3]

[ASPIRADEDEU]

@A13235378, [user]null[/user] Vlw pela ajuda de vocês,apesar de o tópico ser bastante antigo. Conseguir entender 100% agora