Pré-Vestibular ⇒ (UEL-PR)- Simplificação de raízes quadradas Tópico resolvido

[Abelhinha]

O enunciado diz para considerar as afirmativas, eu consegui resolver as outras, mas fiquei empacado nesta:
II. [tex3]\sqrt{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}[/tex3]

Resposta

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Segundo o gabarito, a afirmativa está correta, mas não consegui chegar nesse processo de simplificação

[Auto Excluído (ID: 25040)]

[tex3]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=x[/tex3]
multiplicando ambos os lados por [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}x=\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2}}[/tex3]
elevando ambos os lados ao quadrado
[tex3]2x^2=2+\sqrt{2}+2\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}+2-\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]2x^2=4+2\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}[/tex3]
dividindo ambos os lados por 2
[tex3]x^2=2+\sqrt{4-2}\\
x^2=2+\sqrt{2}[/tex3]
vamos tirar a raiz dos dois lados, normalmente, colocaríamos + ou -, porém, nosso x original era positivo, então vou manter somente o sinal de +
[tex3]x=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]
mas voltando la para cima, vemos que
[tex3]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=x=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]
pela propriedade da transitividade, vemos que realmente são iguais, portanto o item II está correto

[petrasMOD]

Abelhinha,
BAsta utilizar o processo de radical duplo

[tex3]\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}+\sqrt{\frac{A-C}{2}}onde~C = \sqrt{A^2-B}\\
C = \sqrt{2^2-2 }=\sqrt{2}\rightarrow \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\\
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}[/tex3]

[Abelhinha]

Obg pela ajuda, eu estava quebrando a cabeça com essa afirmativa.

[Abelhinha]

Mto obrigado pela ajuda também, eu não era familiar com o conceito de radical duplo, mas agora entendi como funciona. Definitivamente vou utilizá-lo mais.