Ensino Médio ⇒ Identidade Trigonométrica

[triplebig]

Prove que, se [tex3]a + b + c = \frac{\pi}{2},[/tex3] então:

[tex3]\cos^2 a + \cos^2 b + \cos^2 c - 2\cdot \sen a\cdot \sen b\cdot \sen c = 2[/tex3]

Solução:

---

[tex3]\frac{\cos\,2a\,+\,\cos\,2b\,+\,\cos\,2c\,+\,3}{2}\,+\,[\cos\,(a\,+\,b)\,-\,\cos\,(a\,-\,b)]\cdot \sen c[/tex3]


[tex3]\overbrace{\cos (a + b)}^{\large \sen c}\cdot \cos (a - b) + \frac{\cos 2c + 3}{2} + \sen ^2 c - \cos (a - b)\cdot \sen c[/tex3]

[tex3]\frac{1 - 2 \sen ^2 c + 3 + 2 \sen ^2 c}{2}[/tex3]

[tex3]2 + \sen ^2 c - \sen ^2 c = 2[/tex3]

[AnthonyC]

Só colocar aqui algumas identidades usadas, caso alguém tenha dúvida:
[tex3]\cos^2(x)={1\over2}+{\cos(2x)\over2}[/tex3]

[tex3]\cos(2x)={1}-{2\sen^2(x)}[/tex3]

[tex3]-2\sen\(x\)\sen\(y\)=\cos(x+y)-\cos(x-y)[/tex3]

[tex3]\cos(x)+\cos(y)=2\cos\(x+y\over2\)\cos\(x-y\over2\)[/tex3]

[tex3]\cos\({\pi\over2}-x\)=\sen(x)[/tex3]