Olimpíadas ⇒ (OBM - 79) Equações diofantinas lineares Tópico resolvido

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Mostre que o número de soluções inteiras positivas da equação [tex3]x_1+8x_2+27x_3+...+1000x_{10}=3025[/tex3] (*) é igual ao número de soluções inteiras não negativas de [tex3]y_1+8y_2+27y_3+...+1000y_{10}=0[/tex3]. Usando esse fato, conclua que a equação (*) tem uma única solução inteira positiva. Determine essa solução.

Resposta

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x_1=x_2=...=x_10=1

OBS: No enunciado que tenho, tanto o coeficiente de y_10 quanto o de x_10 é 100. Entretanto, pelo gabarito e pela lógica dos coeficientes mostrados, digitei como 1000.

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Minha intuição me disse que [tex3]1 + 8 + 27 + ... 1.000 = 3.025.[/tex3] Existe uma fórmula para isso: [tex3]\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2} \right]^2[/tex3] (que pode ser provada por Indução.)

De fato [tex3]1 + 8 + 27 + \dots + 1.000 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + {10}^3 = {\left( \dfrac{10 \cdot 11}{2} \right)}^2 = {55}^2 = 3.025[/tex3]

Assim, para cada 10-upla não negativa [tex3]( y_1,y_2, \dots , y_{10})[/tex3] solução de

[tex3]y_1+8y_2+27y_3+...+1000y_{10}=0[/tex3]

podemos associar à 10-upla [tex3](x_1,x_2, \dots , x_{10})[/tex3] definida por [tex3]x_i = y_i + 1, \forall i=1,2, \dots , 10[/tex3] e teremos uma solução de

[tex3]x_1+8x_2+27x_3+...+1000x_{10}=3025[/tex3]

e vice-versa;

Desde que a única solução não negativa de

[tex3]y_1+8y_2+27y_3+...+1000y_{10}=0[/tex3]

é [tex3]y_1 = y_2 = y_3 = \dots = y_9 = y_{10} = 0 [/tex3] (pois se [tex3]y_k >0[/tex3] para algum [tex3]k[/tex3] a expressão toda se torna positiva já que cada [tex3]y[/tex3] é não negativo)
segue que a única solução de

[tex3]x_1+8x_2+27x_3+...+1000x_{10}=3025[/tex3]

é [tex3]{x_1 = x_2 = x_3 = \dots = x_9 = x_{10} = 1};[/tex3] e o problema está concluído.