IME / ITA ⇒ (ITA-1994) Identidade Tópico resolvido

[Natan]

A identidade [tex3]\frac{x^3+4}{x^3+1}=1+\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}[/tex3]

é válida para todo número real [tex3]x[/tex3] diferente de [tex3]{-}1.[/tex3] Então [tex3]a + b + c[/tex3] é igual a:

[tex3]a)\, 5[/tex3]
[tex3]b)\, 4[/tex3]
[tex3]c)\, 3[/tex3]
[tex3]d)\, 2[/tex3]
[tex3]e)\, 1[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, Natan.

[tex3]\frac{x^3+4}{x^3+1}=1+\frac{a}{x+1}+ \frac{bx+c}{x^2-x+1}[/tex3]

[tex3]\frac{x^3+4}{^(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{ 1[(x+1)(x^2-x+1)]+ a(x^2-x+1) + (bx+c)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}[/tex3]

[tex3]\frac{x^3+4}{(x+1)(x^2-x+1)}= \frac{x^3+1+ax^2-ax+a+bx^2+bx+cx+c}{(x+1)(x^2-x+1)}[/tex3]

[tex3]x^3-x^3+4-1= ax^2 +bx^2-ax+bx+cx+a+c[/tex3]

[tex3]3= x^2(a+b)-x(a-b-c)+(a+c)[/tex3]

[tex3]a+b=0[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]a-b-c=0[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

[tex3]a+c=3[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

Resolvendo o sistema formado por [tex3](i)[/tex3] [tex3](ii)[/tex3] e [tex3](iii)[/tex3] encontraremos:

[tex3]a=1[/tex3]
[tex3]b=-1[/tex3]
[tex3]c=2[/tex3]

Logo:

[tex3]a+b+c= 2[/tex3]

Alternativa: d