Pré-Vestibular ⇒ (UFSCAR 2008) Geometria plana Tópico resolvido

[axbx]

A seqüência de figuras mostra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos — RQ eQP. Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio da roda mede 3 cm, e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento RQ + QP da rampa, em cm, é igual a

a) [tex3]5\pi + 2\sqrt3 [/tex3]
b) [tex3]4\pi + 3\sqrt5 [/tex3]
c) [tex3]6\pi + \sqrt3 [/tex3]
d) [tex3]7\pi - \sqrt3 [/tex3]
e) [tex3]8\pi - 3\sqrt5 [/tex3]

Gab:

Resposta

---

a

[deOliveira]

Espero que minha figura esteja suficientemente clara.

WhatsApp Image 2020-09-11 at 08.40.49.jpeg (20.55 KiB) Exibido 2443 vezes

Bom, pense na roda girando pela rampa e veja que a parte vermelha da rota passa pela parte vermelha da rampa. Então, o comprimento da rampa será a parte vermelha da roda, mas essa parte preta do canto.

Vamos primeiro calcular o comprimento da parte vermelha.
Observe que as retas [tex3]RQ[/tex3] e [tex3]QP[/tex3] são tangentes à circunferência, então o raio da circunferência forma um ângulo de [tex3]90°[/tex3] com essa reta. Além disso, temos que [tex3]R\hat QP=120°.[/tex3] Então, como [tex3]AQBO[/tex3] é um quadrilátero temos que a soma de seus ângulos internos é [tex3]360°[/tex3]. Logo:

[tex3]120+90+90+A\hat OB=360\\\implies A\hat OB=60°[/tex3]

Daqui temos que a parte vermelha é um setor de [tex3]300°[/tex3], então:

[tex3]Vermelha=\frac{300}{360}\cdot2\pi\cdot3=5\pi[/tex3].

Agora vamos para a parte preta.

Note que como [tex3]OA=OB[/tex3] (é o raio) e [tex3]OQ[/tex3] é um lado comum aos triângulos retângulos [tex3]AQO[/tex3] e [tex3]BQO[/tex3] teremos que [tex3]AQ=BQ=x[/tex3] e que [tex3]A\hat QO=B\hat QO=\frac{120}2=60°[/tex3]. Podemos então usar a fórmula da tangente e teremos:

[tex3]\frac3x=\tg 60°=\sqrt3\\\implies x=\sqrt3[/tex3]

[tex3]Preta=2x=2\sqrt3[/tex3]

[tex3]Rampa=Vermelha+Preta=5\pi+2\sqrt3[/tex3]

Espero que esteja claro, (faz tempo que não apareço por aqui, então estou meio destreinada a escrever as soluções, kk).

[axbx]

Espero que minha figura esteja suficientemente clara.

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Bom, pense na roda girando pela rampa e veja que a parte vermelha da rota passa pela parte vermelha da rampa. Então, o comprimento da rampa será a parte vermelha da roda, mas essa parte preta do canto.

Vamos primeiro calcular o comprimento da parte vermelha.
Observe que as retas [tex3]RQ[/tex3] e [tex3]QP[/tex3] são tangentes à circunferência, então o raio da circunferência forma um ângulo de [tex3]90°[/tex3] com essa reta. Além disso, temos que [tex3]R\hat QP=120°.[/tex3] Então, como [tex3]AQBO[/tex3] é um quadrilátero temos que a soma de seus ângulos internos é [tex3]360°[/tex3]. Logo:

[tex3]120+90+90+A\hat OB=360\\\implies A\hat OB=60°[/tex3]

Daqui temos que a parte vermelha é um setor de [tex3]300°[/tex3], então:

[tex3]Vermelha=\frac{300}{360}\cdot2\pi\cdot3=5\pi[/tex3].

Agora vamos para a parte preta.

Note que como [tex3]OA=OB[/tex3] (é o raio) e [tex3]OQ[/tex3] é um lado comum aos triângulos retângulos [tex3]AQO[/tex3] e [tex3]BQO[/tex3] teremos que [tex3]AQ=BQ=x[/tex3] e que [tex3]A\hat QO=B\hat QO=\frac{120}2=60°[/tex3]. Podemos então usar a fórmula da tangente e teremos:

[tex3]\frac3x=\tg 60°=\sqrt3\\\implies x=\sqrt3[/tex3]

[tex3]Preta=2x=2\sqrt3[/tex3]

[tex3]Rampa=Vermelha+Preta=5\pi+2\sqrt3[/tex3]

Espero que esteja claro, (faz tempo que não apareço por aqui, então estou meio destreinada a escrever as soluções, kk).

Obrigado, compreendi.