Ensino Superior ⇒ Equacao Diferencial - Taxa relacionada Tópico resolvido

[miguel747]

O custo de certa peça de maquinaria custa R$10.500 e seu valor é depreciado com o tempo, de acordo com a equação [tex3]\dfrac{dv}{dt} = -800\cdot (t+3)^{-1}[/tex3], onde v(t) é seu valor t anos e após a compra. Qual o valor da peça 4 anos após a compra?

Resposta

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não possuo o gabarito

[AnthonyC]

EDO separável: colocamos os diferencias da função de um lado e da variável do outro.
[tex3]\dfrac{dv}{dt} = -800\cdot (t+3)^{-1}[/tex3]
[tex3]{dv} = -800\cdot (t+3)^{-1}dt[/tex3]
[tex3]\int{dv} = \int-800\cdot (t+3)^{-1}dt[/tex3]
[tex3]v(t)=-800 \int (t+3)^{-1}dt[/tex3]
[tex3]v(t)=-800 \ln(t+3)+C[/tex3]
Sabemos que quando a peça foi vendida, ou seja, [tex3]t=0[/tex3], ela valia R$ 10.500, logo:
[tex3]v(0)=-800 \ln(3)+C[/tex3]
[tex3]10.500=-800 \ln(3)+C[/tex3]
[tex3]10.500+800\ln(3)=C[/tex3]

Então:
[tex3]v(t)=-800 \ln(t+3)+10.500+800\ln(3)[/tex3]

Logo, após 4 anos:
[tex3]v(4)=-800 \ln(4+3)+10.500+800\ln(3)[/tex3]
[tex3]v(4)=-800 \ln(7)+10.500+800\ln(3)[/tex3]
[tex3]v(4)\approx R$ ~9822,16[/tex3]