Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense - 1982) Polinômios Tópico resolvido

[matbatrobin]

Um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] dividido por [tex3]x+1[/tex3] tem como resto 4, e a divisão por [tex3]x^2+1[/tex3] deixa resto [tex3]2x+3[/tex3]. Calcular o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x+1)(x^2+1)[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, matbatrobin.

Pelo Teorema do resto, [tex3]P(x+1)=4[/tex3] e [tex3]P(x^2+1)= 2x+3[/tex3]

[tex3](x^2+1)=(x+i)(x-i)[/tex3]

[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]

[tex3]P(-1)= [(-1+1)(1+i)(1-i).Q(x)+ a-b+c=4[/tex3]

[tex3]\underbrace{[(-1+1)(1+i)(1-i)]Q(x)}=0[/tex3]

[tex3]a-b+c=4[/tex3] [tex3](1)[/tex3]

[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]

[tex3]P(i)= [(i+1)(i+i)(i-i).Q(x) -a+bi+c=2i+3[/tex3]

[tex3]\underbrace{[(i+1)(i+i)(i-i)]Q(x)}=0[/tex3]

[tex3](c-a)+bi= 3+2i[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]

[tex3]P(-i)= [(-i+1)(-i+i)(-i-i).Q(x)- a-bi+c=-2i+3[/tex3]

[tex3]\underbrace{[(-i+1)(-i+i)(i-i)]Q(x)}=0[/tex3]

[tex3](c-a)-bi=3-2i[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

[tex3]a-b+c=4[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3](c-a)+bi= 3+2i[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

[tex3](c-a)-bi= 3-2i[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

Resolvendo [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]b=2[/tex3]

[tex3]c-a=3[/tex3]

[tex3]c=a+3[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]

Substituindo [tex3](iv)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] teremos:

[tex3]a-b+c=4[/tex3]

[tex3]a-2+a+3=4[/tex3]

[tex3]a= \frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]c= \frac{9}{2}[/tex3]

[tex3]R(x) = ax^2 +bx +c[/tex3]

[tex3]R(x)= \frac{3}{2}x^2+2x+\frac{9}{2}[/tex3]