Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense - 2002) Conjuntos

[matbatrobin]

Determinar todos os subconjuntos [tex3]S[/tex3] dos números complexos que satifazem os seguintes requisitos:

• 1.Se [tex3]x,\,y \in S[/tex3], então [tex3]x\cdot y\in S[/tex3]
  2.[tex3]S[/tex3] possui 2002 elementos.

[fabit]

Acho que só pode ser o conjunto das raízes 2002-ésimas da unidade, ou seja,

[tex3]S=\{z\in\mathbb{C}|z^{2002}=1\}=\{z\in\mathbb{C}|z=\cos{\(\frac{2i\pi}{2002}\)}+i\sin{\(\frac{2i\pi}{2002}\)},i=0,1,2,...,2001\}[/tex3]

Com certeza, a propriedade 1 implica que os elementos de S repousam sobre o círculo unitário centrado em z=0.

Já a propriedade 2, em conjunto com a 1, implica que os argumentos estão em PA e aí S será um grupo com 2002 elementos.