Ensino Superior ⇒ (ENAD - 2008) Divisão Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Qual é o resto da divisão de [tex3]2^{334}[/tex3] por [tex3]23[/tex3] ?

(A) [tex3]2[/tex3].
(B) [tex3]4[/tex3].
(C) [tex3]8[/tex3].
(D) [tex3]16[/tex3].
(E) [tex3]20[/tex3].

Resposta

---

D

[jneto]

Boa noite,

Só sei atacar esse tipo de problema usando aritmética modular.
Vou calcular a classe do número dado em [tex3]Z_{23}[/tex3]

[tex3][2^{334}] = [32]^{66}.[16] = [9]^{66}.[16] = [81]^{33}.[16] = [12]^{33}.[16] = [144]^{16}.[192] \\
[2^{334}] = [6]^{16}.[8] = [36]^{8}.[8] = [13]^{8}.[8] = [169]^{4}.[8] = [8]^{4}.[8] = [64]^{2}.[8] = [18]^{2}.[8] \\
[2^{334}] = [144].[18] = [6][18] = [3][36] = [3][13] = [39] = [16][/tex3]

Portanto: [tex3]\boxed{[2^{334}] = [16]}[/tex3]

Resposta: Alternativa D


Fiquem com Deus

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

Antes de resolver esse problema vamos relembrar do teorema do resto.

Teorema do resto:: Quando o produto de uma série de números é dividido por outro número, o resto é igual ao resto do produto dos números dividido pelo mesmo número.

[tex3]2^{12}= 2048[/tex3]

[tex3]\frac{2048}{23}[/tex3]----> deixa resto 1

Sendo assim podemos escrever:

[tex3]\frac{2^{334}}{23}=\frac {(2^{11})^{30}}{23}= \frac{2^{11}.2^{11}.2^{11}.......30 vezes.2^4}{23}[/tex3]

Cada divisão de [tex3]\frac{2048}{23}[/tex3] tem um resto [tex3]1[/tex3]. O último termo [tex3]2^4[/tex3] deixa resto [tex3]16[/tex3] quando dividido por [tex3]23[/tex3](zero vezes 23 e de resto 16).

Logo, o resta da divisão será:

[tex3]16[/tex3]

Alternativa: D

[jneto]

Antes de resolver esse problema vamos relembrar do teorema do resto.

Teorema do resto:: Quando o produto de uma série de números é dividido por outro número, o resto é igual ao resto do produto dos números dividido pelo mesmo número.

[tex3]2^{12}= 2048[/tex3]

Essencialmente é a mesma coisa, a diferença crucial é que você encontrou um fator cuja classe é [tex3][1][/tex3], isso simplifica muito o cálculo:

[tex3][2^{334}] = [2^{11}]^{30}.[2^{4}] = [1]^{30}.[16] \to \boxed{[2^{334}] = [16]}[/tex3]


Fiquem com Deus