Ensino Superior ⇒ Produto misto e vetorial

[nunes28]

Alguem me ajuda a resolver essa questão por favor?

Mostre que u = (x,y,z) v= (a,b,c) sao paralelos se e somente se u x v= (0,0,0)

[AnthonyC]

Pra provarmos uma implicação "A se, e somente se, B" temos que provar que A implica B e que B implica A. Vamos prová-las separadamente.

• Se dois vetores são paralelos, então o produto vetorial é o vetor nulo:

Se dois vetores são paralelos, tendo, portanto, mesma direção, então o ângulo formado entre eles será [tex3]0[/tex3] (mesmo sentido) ou [tex3]\pi[/tex3] (sentidos opostos). Porém, sabemos que o módulo do produto vetorial é dado por:
[tex3]\left|\vec u\times\vec v\right|=\left|\vec u\right|\left|\vec v\right|\sen(\theta)[/tex3]
Mas ambas as possibilidades de ângulos tornam [tex3]\sen(\theta)=0[/tex3]. Assim, o produto vetorial tem módulo 0. Mas o único vetor que possui módulo 0 é o nulo. Então:
[tex3]\vec u\times\vec v=\vec 0[/tex3]

• Se o produto vetorial é o vetor nulo, então eles são paralelos:

O módulo do produto vetorial é dado por:
[tex3]\left|\vec u\times\vec v\right|=\left|\vec u\right|\left|\vec v\right|\sen(\theta)[/tex3]
Sabemos que esse resultado é o vetor nulo, de módulo 0. Pra que o lado direito da igualdade seja 0, devemos ter:

• Um dos vetores iguais ao vetor nulo:
  Por definição, o vetor nulo é paralelo a qualquer outro vetor. Então, se um deles for nulo, eles serão paralelos.

ou

• O ângulo sendo igual a 0 ou [tex3]\pi[/tex3]:
  Se o ângulo é 0 ou [tex3]\pi[/tex3], então eles tem a mesma direção, ou seja, são paralelos.