Pré-Vestibular ⇒ (Fundep 2017) Geometria Espacial Tópico resolvido

[Juniorn1]

Considere um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa igual a 2R e uma esfera de raio R. O volume do sólido obtido pela diferença entre o volume da esfera e do sólido gerado pela rotação do triângulo ao redor de sua hipotenusa é igual a 9/4 [tex3]\pi [/tex3] cm³. Logo, a medida da área da superfície dessa esfera é igual a:

A) [tex3]\frac{27\pi}{2}[/tex3] cm²
B) [tex3]\frac{9\pi}{2} [/tex3] cm²
C) [tex3]6 \pi[/tex3] cm²
D) [tex3]9 \pi[/tex3] cm²

Resposta

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letra d

Alguém me salva !!

[petrasMOD]

Juniorn1,
Sendo 2R a hipotenusa
A rotação do triângulo irá gerar dois cones.
[tex3]V_c = \frac{\pi r^2}{3}[/tex3] como são dois [tex3]V = \frac{2 \pi r^2}{3}(II)[/tex3]
A altura de cada cone será 2R/2=R pois o triângulo é isósceles
[tex3]V_e=\frac{4\pi R^3}{3}(II)\\
(II) - (I) = \frac{4\pi R^3}{3}-\frac{2\pi R^3}{3}=\frac{9\pi}{4}\rightarrow R = \frac{3}{2}\\
S_e =4\pi R^2 = 4\pi.(\frac{3}{2})^2\therefore \boxed{\color{red}{S_e = 9\pi}} [/tex3]

[Juniorn1]

@petrasMOD , poderia por gentileza desenhar a revolução desse triângulo ? Porque para mim essa revolução gera dois cones sim, porém de volumes diferentes. Eu não entendi porque a revolução gerou dois cones idênticos.

[petrasMOD]

Juniorn1,

O triangulo retângulo é isósceles, tem dois lados iguais, portanto teremos dois sólidos iguais, Se não conseguir visualizar me avise que posto um desenho.

[Juniorn1]

@petrasMOD , eu não me atentei ao fato do triângulo ser isósceles, entendi agora!! Muito obrigado, amigo!!

[Juniorn1]

@petras, fiquei com uma dúvida boba que está me incomodando ... Como eu consigo afirmar que o raio R é igual ao raio r do cone?

[petrasMOD]

Juniorn1,
Nenhuma dúvida é boba. Veja a imagem quando fazemos um corte nos dois cones. A distancia CD é a mesma distância DE. Tinha que ser pois ele girou em torno da hipotenusa. E por que a altura CD vale R? Em todo triângulo retângulo a mediana vale metade da hipotenusa mas como também é isósceles a mediana coincide com a altura.

[Juniorn1]

@petrasMOD , perfeito! Muito bom !! Obrigado pela ajuda ! Muito grato mesmo !!