Olimpíadas ⇒ Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números Tópico resolvido

[Ittalo25MOD]

Questão movida conforme a regra 6 da maratona:

(Estados Unidos 1973) Sejam p,q e r primos distintos, prove que [tex3]\sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q}[/tex3] e [tex3]\sqrt[3]{r}[/tex3] não podem ser termos de uma progressão aritmética.

[Ittalo25MOD]

Como p,q e r são primos distintos, podemos supor sem perda de generalidade: [tex3]\sqrt[3]{p}<\sqrt[3]{q}<\sqrt[3]{r}[/tex3].

Então, supondo que esses termos estão em progressão aritmética e sendo "x" a razão, temos que:

[tex3]\begin{cases}
\sqrt[3]{r}=\sqrt[3]{p}+ax \space \space \space \space (I)\\
\sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p}+bx \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]

Onde [tex3]a>b [/tex3] e "a" e "b" são números inteiros.

Fazendo: [tex3]b\cdot (I) - a\cdot (II) [/tex3] temos que:

[tex3]b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}=b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qrp}\cdot ( b-a) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{qrp} = \frac{p\cdot (b-a)^3-b^3r+a^3q}{-3ab\cdot (b-a)}[/tex3]
O lado esquerdo é irracional, enquanto o direito é racional. Absurdo.