Ensino Superior ⇒ (ENAD - 2008) Polinômio Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Para que valores de [tex3]k[/tex3] e [tex3]m[/tex3] o polinômio [tex3]P(x)=x ^3-3x^2+kx+m[/tex3] é múltiplo de [tex3]Q(x) = x^2-4[/tex3] ?

(A) [tex3]k=-4[/tex3] e [tex3]m=12[/tex3].
(B) [tex3]k=-3[/tex3] e [tex3]m=-4[/tex3].
(C) [tex3]k=-3[/tex3] e [tex3]m=-12[/tex3].
(D) [tex3]k=-4[/tex3] e [tex3]m=-3[/tex3].
(E) [tex3]k=-2[/tex3] e [tex3]m=2[/tex3].

Resposta

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(A)

[triplebig]

O polinômio é divisível por [tex3]2\text{ e por }-2[/tex3]. Abaixo está sendo aplicado o dispositivo de briot-ruffini:

[tex3]\begin{array}{c|rrrrccccllll}
2 &&& 1 &&& -3 &&& k &&& m \\
\hline -2 &&& 1 &&& -1 &&& k-2 &&|& 2k-4+m\\
\hline &&& 1 &&& -3 &&|& 4+k

\end{array}[/tex3]

Como o resto deve ser [tex3]0[/tex3] em ambos os casos, temos:

[tex3]\begin{cases}2k-4-m=0\\4+k=0 \end{cases}[/tex3]

De onde [tex3]\boxed{k=-4\\ m=12}[/tex3]