Concursos Públicos ⇒ (UnB/CESPE - SEDUC) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um fazendeiro construiu um canal para levar água de um rio até o curral de sua fazenda. A seção transversal desse canal tem a forma de um trapézio isósceles e, para determinar o fluxo de água do canal, o fazendeiro utilizou a seguinte função:

[tex3]f(\theta)=3sen\sqrt{\theta^2-1}-sen\sqrt{4(\theta^2-1)}[/tex3], em que [tex3]\sqrt{\theta^2-1}[/tex3] é o ângulo que a base menor do trapézio faz com a lateral.

Com base no texto, é correto afirmar que

(A) [tex3]\theta \geq \pi\sqrt{2}[/tex3].
(B) [tex3]\theta \leq \frac{\pi}{2}\sqrt{5}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\sqrt{\pi^2+4}}{2}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{\sqrt{\pi^2+4}}{2} \leq \theta \leq \sqrt{\pi^2+1}[/tex3].
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Se [tex3]\cos\sqrt{\theta^2-1}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex3], então o valor de [tex3]f{(\theta)}[/tex3] é igual a

(A) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{4}{3}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{3-\sqrt{5}}{3}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{18-4\sqrt{5}}{9}[/tex3].
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Considerando [tex3]{-}\frac{1}{2} \leq \cos\sqrt{\theta^2-1} \leq 0[/tex3], assinale a opção incorreta.

(A) [tex3]0 \leq sen\sqrt{\theta^2-1} \leq \frac{1}{2}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2} \leq sen\sqrt{\theta^2-1} \leq 1[/tex3].
(C) [tex3]f(\theta) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3].
(D) [tex3]f(\theta) \leq 4[/tex3].

Resposta

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D,D,A

[ViniciusHarlock]

Fala Aldrin,

Simplificando a função (fórmula da duplicação de arcos):

[tex3] f(\theta)=3\(\sen \sqrt{\theta^{2}-1}\)-\(\sen 2\sqrt{\theta^{2}-1}\)[/tex3]
[tex3]f(\theta)=3\(\sen \sqrt{\theta^{2}-1}\)-2\(\sen \sqrt{\theta^{2}-1}\)\(\cos \sqrt{\theta^{2}-1}\)[/tex3]
[tex3]f(\theta)=\(\sen \sqrt{\theta^{2}-1}\)\(3-2\(\cos \sqrt{\theta^{2}-1}\)\)[/tex3]

[tex3]\sqrt{\theta^2-1}[/tex3] é maior que 90º (pois é o ângulo da menor base) ou igual a 90º (no caso do trapézio ser um quadrado) assim como é menor que 180º ou igual (se o canal for plano).

[tex3]{ \frac{\pi}{2}\leq\sqrt{\theta^{2}-1}\geq\pi}{}[/tex3]

Primeira inequação:
[tex3]\theta^{2}-1\leq\pi^{2}\\ \theta^{2}\leq\pi^{2}+1\\ \theta\leq\sqrt{\pi^{2}+1}[/tex3]
Segunda inequação:
[tex3]\theta^{2}-1\geq\frac{\pi^{2}}{4}\\ \theta^{2}\geq\frac{\pi^{2}}{4}+1\\ \theta\geq\frac{\sqrt{\pi^{2}+4}}{2}[/tex3]
alternativa d

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Se [tex3]\cos\sqrt{\theta^2-1}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex3], então [tex3]\sen \sqrt{\theta^2-1}=\frac{2}{3}[/tex3] (pitágoras), então:

[tex3]f(\theta)=\(\sen \sqrt{\theta^{2}-1}\)\(3-2\(\cos \sqrt{\theta^{2}-1}\)\)[/tex3]
[tex3]f(\theta)=\frac{2}{3}\(3-2\frac{\sqrt{5}}{3}\)=\frac{18-4\sqrt{5}}{9}[/tex3]
alternativa d

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Se [tex3]{-}\frac{1}{2} \leq \cos\sqrt{\theta^2-1} \leq 0[/tex3], então [tex3]{-}\frac{1}{2}\leq\sqrt{1-\(\sen^{2}\sqrt{\theta^{2}-1}\)}\leq0[/tex3](pitágoras), que resolvendo dará:

[tex3]1-\(\sen^{2}\sqrt{\theta^{2}-1}\)\leq0\\ \(\sen\sqrt{\theta^{2}-1}\)=[-1,1][/tex3]
e
[tex3]1-\(\sen^{2}\sqrt{\theta^{2}-1}\)\leq\frac{1}{4}\\ \(\sen\sqrt{\theta^{2}-1}\)=\[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\][/tex3]

(A) Falso
(B) Verdadeiro
(C) e (D) podem ser comprovados pela equação [tex3]f(\theta)=\(\sen \sqrt{\theta^{2}-1}\)\(3-2\(\cos \sqrt{\theta^{2}-1}\)\)[/tex3]