Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Geometria plana Tópico resolvido

[matbatrobin]

No triângulo ABC, AD é a altura relativa ao lado BC. Se AB=DC=1, assinale a alternativa que corresponde à área máxima do triângulo ABC.
A)[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{8}\,\,\,\,\,[/tex3]B)[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\,\,\,[/tex3]C)[tex3]\frac{\sqrt{2}}{3}\,\,\,\,\,[/tex3]D)[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}\,\,\,\,\,[/tex3]E)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Resposta

---

Resposta: A)

[adrianotavares]

Olá, matbatrobin.

Triângulo 2.GIF (2.17 KiB) Exibido 1965 vezes

[tex3]A= \frac{(x+1).h}{2} (i)[/tex3]

[tex3]x^2+h^2=1^2[/tex3]

[tex3]h= \sqrt{1-x^2} (ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] temos:

[tex3]A= \frac{(x+1).(\sqrt{1-x^2})}{2}[/tex3]

[tex3]A= \frac{x \sqrt{1-x^2}+ \sqrt{1-x^2}}{2}[/tex3]

Derivando a área em relação a [tex3]x[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{dA}{dx}=\frac{[1 \sqrt{1-x^2}+\frac{(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}x +\frac{(-2x)}{2 \sqrt{1-x^2}}x]2- 0.(x \sqrt{1-x^2}+ \sqrt{1-x^2)}}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{dA}{dx}= \frac{\sqrt{1-x^2}- \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{dA}{dx}= \frac{1-x^2-2x^2}{2\sqrt{1-x^2}}[/tex3]

Fazendo-se [tex3]\frac{dA}{dx}=0[/tex3] teremos:

[tex3]1-x^2-2x^2=0[/tex3](-1)

[tex3]2x^2+x-1=0[/tex3]

Resolvendo essa equação do 2º grau encontraremos:

[tex3]x =\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]x[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]h= \sqrt{1-x^2} \Rightarrow h= \sqrt{1-\frac{1}{4}} \Rightarrow h= \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]x[/tex3] e [tex3]h[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] teremos:

[tex3]A= \frac{(x+1).h}{2} \Rightarrow A= \frac{(\frac{1}{2}+1).\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \Rightarrow A= \frac{\frac{3}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \Rightarrow A= \frac{3 \sqrt{3}}{8}[/tex3]

Alternativa: A