Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Permutações Circulares Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

De quantos modos três casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos?

Solução:

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Permutações circulares em que há exatamente um casal junto.

escolha do casal que ficará junto: [tex3]3[/tex3] modos;
permuta entre o par escolhido: [tex3]2[/tex3] modos;
escolha do vizinho do homem no casal formado (excluindo-se a sua mulher): [tex3]4[/tex3] modos;
escolha do vizinho deste vizinho: [tex3]2[/tex3] modos;
escolha do próximo: [tex3]1[/tex3] modo;
escolha do último: [tex3]1[/tex3] modo.

Logo, há [tex3]3\cdot 2\cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 =48[/tex3] disposições possíveis.

Permutações circulares em que há exatamente dois casais juntos.

escolha dos dois casais: [tex3]{3\choose2} = 3[/tex3] modos
permuta do 1º casal: [tex3]2[/tex3] modos
permuta do 2º casal: [tex3]2[/tex3] modos
Um dos integrantes do 3º casal deverá ficar entre os dois primeiros casais. Esta escolha pode ser feita de [tex3]2[/tex3] modos.

Logo, há [tex3]3\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 =24[/tex3] disposições possíveis.

Permutações circulares em que há exatamente três casais juntos.

permuta no 1º casal: [tex3]2[/tex3] modos
permuta no 2º casal: [tex3]2[/tex3] modos
permuta no 3º casal: [tex3]2[/tex3] modos
permuta entre os três casais: [tex3]= 2[/tex3] modos

Logo, há [tex3]2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 =16[/tex3] disposições possíveis.

• [tex3]48 + 24 + 16 = 88[/tex3]

Como há [tex3]PC_6=(6-1)!=5!=120[/tex3] disposições possíveis para as [tex3]6[/tex3] pessoas, segue que o resultado pedido é [tex3]120 - 88 = 32.[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Sejam A,a ; B,b ; C,c os 3 casais

Fixando A, a (A em cima e a à direita), saltando uma cadeira.

ABaCbc e ABacbC

ACaBcb e AcaBCb

AbaCBc e AbacBC

ACabcB e AcabCB

São 8 casos

Idem para A em cima e a à esquerda ----> 8 casos

Fixando A em cima e a em baixo (um de frente ao outro)

ABCabc e ABCacb

ABcaCb e ABcabC

São 4 casos. Como B pode ocupar 4 casas ----> 4*4 = 16

Total = 8 + 8 + 16 = 32

De acordo com o Elcio Fonseca.