Pré-Vestibular ⇒ (Unifei-2008) Polinômio Tópico resolvido

[Doug]

Qual deve ser o valor de [tex3](a+b)[/tex3] para que o polinômio [tex3]P(x)=3x^{5}-6x^{4}+13x^{3}+ax^{2}+bx-1[/tex3] seja divisível pelo polinômio [tex3]Q(x)=x^{2}-2x+3[/tex3]?

[tex3]A) 1\\
B) \frac{13}{3}\\
C)\frac{4}{5}\\
D)\frac{8}{7}[/tex3]

Gabarito

---

B

[adrianotavares]

Olá, Doug.

O grau do quociente será do 3º grau da forma:

[tex3]S(x)=cx^3+dx^2+ex+f[/tex3]

[tex3]P(x)=3x^5-6x^4 +13x^3 +ax^2+bx-1[/tex3]

[tex3]P(x)= Q(x).S(x)+R(x)[/tex3]

[tex3]3x^5-6x^4 +13x^3 +ax^2+bx-1= (x^2-2x+3).(cx^3+dx^2+ex+f)+0[/tex3]

[tex3](x^2-2x+3).(cx^3+dx^2+ex+f)=[/tex3]

[tex3]cx^5+dx^4+ex^3+fx^2-2cx^4-2dx^3-2ex^2-2fx+3cx^3+3dx^2+3ex+3f[/tex3]

Agrupando os termos semelhantes teremos:

[tex3]cx^5+(d-2c)x^4+(e-2d+3c)x^3+(f-2e+3d)x^2+(-2f+3e)x+3f[/tex3]

Como os polinômios são idênticos teremos:

[tex3]c= 3[/tex3]

[tex3]3f=-1 \Rightarrow f = \frac{-1}{3}[/tex3]

[tex3]d-2c= -6 \Rightarrow d- 2.3= -6 \Rightarrow d= 0[/tex3]

[tex3]e-2d+3c= 13 \Rightarrow e -2.0+3.3= 13 \Rightarrow e= 4[/tex3]

[tex3]f-2e+3d=a \Rightarrow \frac{-1}{3}-2.4+3.0= a \Rightarrow a= \frac{-25}{3}[/tex3]

[tex3]3e-2f=b \Rightarrow 3.3-2 (\frac{-1}{3})= b \Rightarrow b= \frac{38}{3}[/tex3]

Logo, teremos :

[tex3](a+b)= (\frac{-25}{3}) + \frac{38}{3} \Rightarrow (a+b)= \frac{13}{3}[/tex3]

Alternativa: B

[Doug]

Ah tá, entendi , muito obrigado adrianotavares, abraço e t+