Pré-Vestibular ⇒ (FEPECS - 2009) Logaritmo Tópico resolvido

[matbatrobin]

O volume de um líquido volátil diminui 4% a cada 10 minutos.

( Se necessário use [tex3]\log2=0,30[/tex3] e [tex3]\log3=0,48[/tex3])

O tempo necessário para que o volume se reduza à quarta parte é:
(A)4 horas;
(B)5 horas;
(C)6 horas;
(D)8 horas;
(E)12 horas e 30 minutos.

[triplebig]

Sendo [tex3]S[/tex3] o volume inicial, [tex3]V[/tex3] o volume , e [tex3]t[/tex3] o tempo (em minutos), temos:

[tex3]V=S\cdot0,96^{0,1t}[/tex3]

Com isso, podemos atacar o problema.

[tex3]\begin{aligned}
\frac{1}{4} \cdot S = S \cdot 0,96^{0,1t} &\Leftrightarrow 4 \cdot 0,96^{0,1t} = 1 \\
&\Leftrightarrow \log(4 \cdot 0,96^{0,1t}) = \log 1 \\
&\Leftrightarrow \log 4 + 0,1 \cdot t \cdot \log\left(\frac{24}{25}\right) = 0 \\
&\Leftrightarrow t = \frac{-20 \log 2}{\log(3 \cdot 2^3) - \log\left(\frac{10}{2}\right)^2} \\
&\Leftrightarrow t = \frac{-20 \cdot \log 2}{\log 3 + 3 \cdot \log 2 - 2(\log 10 - \log 2)}
\end{aligned}[/tex3]

[tex3]\therefore \;t=\frac{-20\cdot0,3}{0,48+3\cdot0,3-2+2\cdot0,3}=\boxed{\;300\;}[/tex3]

Que equivale a [tex3]5\mbox{ horas}[/tex3] , letra (B)

[tex3]{\text{sacou?} \atop \stackrel{}{\rule{60pt}{60pt}}} \quad
{\text{sacou?} \atop \stackrel{}{\rule{40pt}{40pt}}} \quad
{\text{sacou?} \atop \stackrel{}{\rule{20pt}{20pt}}} \quad
{\text{sacou?} \atop \stackrel{}{\rule{10pt}{10pt}}}[/tex3]

[matbatrobin]

Só não entendi o porquê do [tex3]0,96^{0,1t}[/tex3] e não [tex3]0,96^t[/tex3]

[triplebig]

Porque a mudança de volume ocorre de [tex3]10\text{ em } 10[/tex3] minutos. se a unidade de tempo fosse [tex3]\gamma[/tex3] , sendo [tex3]1\gamma=10\text{ min}[/tex3] , então ai sim seria [tex3]0,96^t[/tex3] . Sempre lembre de considerar as unidades. Se eu fosse usar hora como unidade, teria que usar [tex3]0,96^{6t}[/tex3] , pois quando passasse [tex3]\frac{1}{6}[/tex3] de hora o expoente seria [tex3]1[/tex3] .