Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Mineira - 2005) Geometria plana

[matbatrobin]

A figura abaixo mostra a vista aérea de um shopping. Sabe-se que:

[tex3]AB=EA=130m \\ BC=CD=DE=100m \\ BD=120m[/tex3]
[tex3]EC[/tex3] é perpendicular a [tex3]BD[/tex3]

Qual a área dessa construção?

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[triplebig]

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Ficou a parada na frente da figura mas não vai atrapalhar muito..

Na figura temos [tex3]\overline{FC}=x[/tex3] .

A Área desejada é duas vezes a área dos triângulos pintados.

Por pitágoras, no [tex3]\triangle CFG[/tex3] :

[tex3]50^2 + FG^2 = x^2 \Leftrightarrow FG = \sqrt{x^2 - 2500} \quad (1)[/tex3]

Por pitágoras, no [tex3]\triangle BFC[/tex3] :

[tex3](120-x)^2+x^2=100^2\;\Leftrightarrow\;(2)x=60+10\sqrt{14} \text{ , pois por (1) temos que x\leq50}[/tex3]

Voltando com [tex3](2)\text{ em }(1)[/tex3] :

[tex3]FG=\sqrt{100\cdot(6+\sqrt{14})^2-2500} =10\sqrt{25+12\sqrt{14}}[/tex3]

Assim, podemos cálcular as áreas do triângulo vermelho e do verde:

Triângulo verde: [tex3]\;\;\[CFG\]=\frac{50\cdot x}{2}=25x[/tex3]

Triângulo vermelho: [tex3]\;\;\[BCF\]=\(\frac{(x\cdot(120-x)}{2}\)=\frac{120-x^2}{2}[/tex3]

No triângulo azul , observe que [tex3]\triangle BHF \sim \triangle CFG[/tex3] :

[tex3]\frac{50}{BH}=\frac{120-x}{x}\;\Leftrightarrow\;BH=\frac{50x}{120-x}[/tex3]

No [tex3]\triangle BHF[/tex3] , [tex3](120-x)^2-BH^2=HF^2\;\Leftrightarrow\;HF=\sqrt{(120-x)^2-\(\frac{50x}{120-x}\)^2}[/tex3]

No [tex3]\triangle BAH[/tex3] , [tex3]130^2-BH^2=AH^2\;\Leftrightarrow\;AH=\sqrt{130^2-\(\frac{50x}{120-x}\)^2}[/tex3]

Assim a área do triângulo azul é [tex3]\frac{(HF+AH)\cdot BH}{2}[/tex3] e a área total é:

[tex3]2\cdot\[\(\frac{(HF+AH)\cdot BH}{2}\)+\(600\cdot\sqrt{25+12\sqrt{14}}-1250+600\sqrt{14}\)+\(250\cdot\sqrt{25+12\sqrt{14}}\)\][/tex3]

Cara, essa questão (se eu fiz certo) é suicida, eu pessoa sana não irei terminar esta conta. Os caras nem facilitam, nem dá para simplificar [tex3]x^2[/tex3] !! :

[tex3]60+10\sqrt{14}=(a+b)^2\;\Leftrightarrow\;60+10\sqrt{14}=a^2+2ab+b^2\;\Longrightarrow[/tex3] [tex3]\begin{cases}a^2+b^2=60 \\ ab= 5\sqrt{14}\end{cases}[/tex3]
[tex3]a^2+\frac{350}{a^2}=60\;\Leftrightarrow\;a^4-60a^2+350=0\;\Leftrightarrow\;\begin{cases}a=\sqrt{30+5\sqrt{22}}\\b=\sqrt{30-5\sqrt{22}} \end{cases}[/tex3]

Que não ajuda em nada. Alguém poderia conferir se fiz certo? fiz ela meio apressado..