Olimpíadas ⇒ Teorema chinês dos restos Tópico resolvido

[goncalves3718]

Demonstrar que se [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são três inteiros diferentes, então existem infinitos valores de [tex3]n[/tex3] para os quais [tex3]a + n, b + n[/tex3] e [tex3]c + n [/tex3] são primos entre si.

[Ittalo25MOD]

Supondo sem perda de generalidade: [tex3]a>b [/tex3]

Então existem infinitos valores de n tais que: [tex3]mdc(a-b,a+n) = 1[/tex3]

Por exemplo: [tex3]mdc(a-b, x\cdot (a-b)+1) = 1 [/tex3]. Então basta fazer: [tex3]n = x\cdot (a-b)+1-a [/tex3]. Fica claro que os valores são infinitos.

Então, pelo lema de Euclides:

[tex3]mdc(a-b,a+n) = 1[/tex3]
[tex3]mdc(a-b-a-n,a+n) = 1[/tex3]
[tex3]mdc(-b-n,a+n) = 1[/tex3]
[tex3]mdc(b+n,a+n) = 1[/tex3]

Fazendo isso 3 vezes chega-se a [tex3]mdc(b+n,a+n) = mdc(b+n,c+n) = mdc(a+n,c+n)= 1[/tex3]