Olimpíadas ⇒ Legendre- POTI Tópico resolvido

[goncalves3718]

Prove que se [tex3]p[/tex3] é um primo maior que [tex3]3[/tex3] então a soma dos resíduos quadráticos módulo [tex3]p [/tex3] é divisível por [tex3]p[/tex3].

[Ittalo25MOD]

Repare que [tex3]x^2 \equiv (p-x)^2 \mod(p) [/tex3]

Ou seja, os resíduos quadráticos se repetem 2 vezes

Então se somarmos: [tex3]1^2+2^2+3^2+4^2+....+(p-1)^2 = \frac{p \cdot (p+1) \cdot (2p+1)}{6} [/tex3], estaremos contando os resíduos 2 vezes

Sendo assim, a soma correta é: [tex3]\frac{p \cdot (p+1) \cdot (2p+1)}{12} [/tex3]

Como p é maior que 3, então [tex3]mdc(12,p) = 1 [/tex3], sendo assim: [tex3]\frac{p \cdot (p+1) \cdot (2p+1)}{12} \equiv 0 \mod(p)[/tex3]