Olimpíadas ⇒ Equações Funcionais POTI Tópico resolvido

[GSazevedo]

Considere uma função [tex3]f[/tex3] definida no conjunto dos números naturais tal que
[tex3]f(n+2)=3+f(n)[/tex3], para qualquer [tex3]n[/tex3] natural, [tex3]f(0)=10, f(1)=5.[/tex3]
Qual o valor de [tex3]\sqrt{f(81)-f(70)}[/tex3]?

[Auto Excluído (ID: 25040)]

se não me enganei em nada deve ser
[tex3]f(n+2) = 3+f(n)[/tex3]
[tex3]f((n+2)+2) = 3 + f(n+2)[/tex3]
[tex3]f((n+4)+2) = 3 + f(n+4)[/tex3]
...
[tex3]f((n+2k)+2)=3+f(n+2k)[/tex3]
somando tudo
[tex3]f(n+2)+f(n+4)+f(n+6)+...+f(n+2(k+1))=3\cdot(k+1) +f(n)+f(n+2)+f(n+4)+...+f(n+2k)[/tex3]
[tex3]f(n+2(k+1))=3\cdot(k+1)+f(n)[/tex3]
entaão
[tex3]f(70)=f(0+2(35))=105+f(0)=115[/tex3]
[tex3]f(81) =f(1+80)=f(1+2(40))=3\cdot40+f(1)[/tex3]
[tex3]f(81) = 125[/tex3]
[tex3][/tex3]
então [tex3]\sqrt{f(81)-f(70)}=\sqrt{10}[/tex3]