IME / ITA ⇒ (Escola Naval 1972) - Trigonometria

[mvgcsdf]

O valor de [tex3]P\,=\,sen1^\circ\,\times\,sen3^\circ\,\times\,sen5^\circ\,\times\,......\,\times\,sen87^\circ\,\times\,sen89^\circ[/tex3] é
[tex3]a)\,2^{{-}44}[/tex3]
[tex3]b)\,2^{{-}44,5}[/tex3]
[tex3]c)\,2^{{-}45}[/tex3]
[tex3]d)\,2^{{-}45,5}[/tex3]
[tex3]e)\,2^{{-}46}[/tex3]

[fabit]

Deixa eu ver, são os ímpares de 1 a 89, formando os pares (1,89), (3,87), (5,85), ... até (43,47) e mais o 45 sozinho sem par.

Acho que vou tentar [tex3]\sin\(90^\circ-x\)=\cos\(x\)[/tex3] e ficar com

[tex3]P=\sin1^\circ\cos1^\circ\times\sin2^\circ\cos2^\circ\times\sin3^\circ\cos3^\circ\times\ldots\times\sin43^\circ\cos43^\circ\times\sin45^\circ[/tex3]

Então [tex3]P=\frac{\sin2^\circ}{2}\times\frac{\sin4^\circ}{2}\times\ldots\times\frac{\sin86^\circ}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Vai simplificar mais se aplicar de novo o raciocínio. Acho que é por aí.

[triplebig]

fabit, não seria bem assim, primeiro porque não dá para usar o mesmo raciocínio de novo, e segundo porque você usou ângulos pares [tex3](\sen 2^\circ \; , \;\cos2^\circ)[/tex3] . No spoiler abaixo está a tentativa que eu comecei a fazer faz uns dias e salvei pois tava sem idéias:

tentativa

---

[tex3]\begin{array}{rl}P=&\sen 1^\circ\cdot\sen 3^\circ\cdot \sen 5^\circ\cdot \,\ldots\, \cdot \sen 45^\circ\cdot\cos 43^\circ\cdot\cos 41^\circ\cdot\,\ldots\,\cdot \cos3^\circ\cdot\cos1^\circ\\
\\
=&(\sen 1^\circ\cdot\cos 1^\circ)\cdot(\sen 3^\circ\cdot\cos3^\circ)\cdot\,\ldots\,\cdot (\sen 43^\circ\cdot\cos 43^\circ)\cdot\sen 45^\circ \\
\\
=&\frac{(2\cdot\sen 1^\circ\cdot\cos 1^\circ)\cdot(2\cdot\sen 3^\circ\cdot\cos3^\circ)\cdot\, \ldots\,\cdot (2\cdot\sen 43^\circ\cdot\cos 43^\circ)\cdot\sen 45^\circ}{2^{22}}\\
\\
=&\frac{\sen 2^\circ\cdot\sen 6^\circ\cdot\sen 10^\circ\cdot \,\ldots\,\cdot\sen 82^\circ\cdot\sen 86^\circ\cdot\sen 45^\circ}{2^{22}}\\
\\
=&\frac{(2\cdot\sen 2^\circ\cdot\cos4^\circ)\cdot(2\cdot\sen 6^\circ\cdot\cos8)^\circ\cdot\,\ldots\,\cdot(2\cdot\sen 38^\circ\cdot\cos 40^\circ)\cdot(2\cdot\sen 42^\circ\cdot\cos 44^\circ)}{2^{33}}\\
\\
=&\frac{(\sen 6^\circ-\sen 2^\circ)\cdot(\sen 14^\circ-\sen 2^\circ)\cdot\,\ldots\,\cdot (\sen 78^\circ-\sen 2^\circ)\cdot(\sen 86^\circ-\sen 2^\circ)\cdot\sen 45^\circ}{2^{33}}\\
\\
\ldots

\end{array}[/tex3]

Se você usar de novo a relação [tex3]\sen (90-x)=\cos x[/tex3] vai acabar resultando na seguinte expressão:

[tex3]P=\frac{\sen 2^\circ\cdot\cos4^\circ\cdot\sen 6^\circ\cdot\cos 8^\circ\cdot\sen 10^\circ\cdot\,\ldots\,\cdot \sen 42^\circ\cdot\cos44^\circ}{2^{22,5}}[/tex3]

O caminho é por aí sim, mas não dá para repetir o processo. Estou tentando aqui e tá ficando quente, depois eu volto com a solução, se ela vier.

[Auto Excluído (ID:3002)]

[tex3]P\,=\,sen1^\circ\,\times\,sen3^\circ\,\times\,sen5^\circ\,\times\,......\,\times\,sen87^\circ\,\times\,sen89^\circ[/tex3]
[tex3]P\,=(sen1sen89)(sen3sen87)(sen5sen85)...(sen41sen49)(sen43sen47)sen45[/tex3]

Como [tex3]senAsenB=\frac{cos(A-B)-cos(A+B)}{2}[/tex3] temos:

[tex3]2^{22} P\,=cos88 \times cos84 \times cos80 \times cos76 \times cos72 \times cos68 \times cos64 \times cos60...cos12 \times cos8 \times cos4 \times \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}[/tex3]

Agora como [tex3]cosA= \frac{sen(2A)}{2senA}[/tex3] temos:

[tex3]2^{44} P\,= \frac{sen176}{sen88} \times \frac{sen168}{sen84} \times \frac{sen160}{sen80} \times \frac{sen152}{sen76} \times \frac{sen144}{sen72} \times ...\times \frac{sen24}{sen12} \times \frac{sen16}{sen8} \times \frac{sen8}{sen4} \times \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}[/tex3]

Sabendo que se [tex3]A>90^\circ\,[/tex3] então [tex3]senA=sen(180-A)[/tex3]. Assim:

[tex3]2^{44} P\,= \frac{sen4}{sen88} \times \frac{sen12}{sen84} \times \frac{sen20}{sen80} \times \frac{sen28}{sen76} \times \frac{sen36}{sen72} \times ...\times \frac{sen24}{sen12} \times \frac{sen16}{sen8} \times \frac{sen8}{sen4} \times \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}[/tex3]

Simplificando, temos:

[tex3]2^{44} P\,= 1 \times \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]P\,=\frac{1}{2^{\frac{89}{2}}}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]P\,=\frac{1}{2^{44,5}}[/tex3]

Resposta: letra b