IME / ITA ⇒ (ITA) Equações Funcionais Tópico resolvido

[GSazevedo]

Sejam [tex3]f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] funções tais que [tex3]g(x)=1-x[/tex3] e [tex3]f(x) +2f(2-x)=(x-1)^{3}[/tex3], para todo [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]. Determine [tex3]f(g(x))[/tex3].

Resposta

---

[tex3]x^{3}[/tex3]

[APLA2004]

image.jpg (41.87 KiB) Exibido 2257 vezes

Veja se vc compreeende, fiz meio q na pressa, mas espero ajudar;) BONS ESTUDOS!

[GSazevedo]

Entendi tudo, apenas travei um pouquinho no final, como vc fez para que [tex3]f(x)= -x^{3}+3x^{2}-3x+1[/tex3] se tornasse [tex3]f(g(x))= x^{3}[/tex3]?

[APLA2004]

nossa,só vi agr, mals.mas enfim, se vc inserir a função g(x) no local do x, vc vai obter x^3

[GSazevedo]

de boas kkkkkkkk valeu!

[careca]

Minha resolução

g(x) = 1-x

f(x) + 2f(2-x) = (x-1)^3

f(1+x) + 2f(1-x) = (x)^3

lembre-se f(g(x)) = f(1-x). Sendo assim

f(1+x) + 2f(g(x)) = (x)^3

--------------------------------

f(1-x) + 2f(1+x) = (-x)^3 . Pelo mesmo motivo =>

f(g(x)) + 2f(1+x) = -(x)^3

Colocando em um sistema

f(1+x) + 2f(g(x)) = x^3

2f(1+x) + f(g(x)) = - x^3

Somando os sistemas e simplificando termos obtemos uma relação interessante:

f(1+x) = - f(g(x)).

Usaremos essa relação em f(1+x) + 2f(g(x)) = x^3

-f(g(x)) + 2f(g(x)) = x^3

f(g(x)) = x^3