Olimpíadas ⇒ POTI - Equações Funcionais Tópico resolvido

[GSazevedo]

Se [tex3]2f(x^{2})+3f\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=x^{2}-1[/tex3], determine [tex3]f(x^{2})[/tex3].

[Auto Excluído (ID: 25040)]

[tex3]2f(x^{2})+3f\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=x^{2}-1[/tex3]
tome x = y
[tex3]2f(y^{2})+3f\left(\frac{1}{y^{2}}\right)=y^{2}-1[/tex3]
tome x = 1/y
[tex3]2f\(\({1\over y}\)^{2}\)+3f\left(\frac{1}{\({1\over y}\)^{2}}\right)=\({1\over y}\)^{2}-1[/tex3]
ajeitando um pouco
[tex3]2f\({1\over y^2}\)+3f\left(\frac{1}{\({1\over y^2}\)}\right)={1\over y^{2}}-1[/tex3]
[tex3]2f\({1\over y^2}\)+3f\left(y^2\right)={1\over y^{2}}-1[/tex3]
vamos então chamar [tex3]f\({1\over y^2}\)=w[/tex3] e [tex3]f(y^2)=z[/tex3]
podemos reescrever as equações acima como
[tex3]2z+3w=y^2-1[/tex3]
[tex3]3z+2w={1\over y^2}-1[/tex3]
fazendo a primeira menos a segunda
[tex3]-z+w=y^2-{1\over y^2}={y^4-1\over y^2}[/tex3]
faz agora então a segunda menos duas vezes a que obtemos acima
[tex3]3z+2w-2(w-z)={1\over y^2}-1-2\({y^4-1\over y^2}\)[/tex3]
[tex3]5z={1-y^2\over y^2}+{-2y^4+2\over y^2}[/tex3]
[tex3]5z={3-y^2-2y^4\over y^2}[/tex3]
[tex3]f(y^2)={3-y^2-2y^4\over 5y^2}[/tex3]